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Representação de uma álgebra

(Redirecionado de Teoria das representações)

Em matemática, uma representação de uma álgebra é um módulo sobre a álgebra ou, equivalentemente, um homomorfismo de álgebras entre a álgebra e o anel de endomorfismos de um espaço vetorial. [1]

Índice

DefiniçõesEditar

Dado um homomorfismo de álgebras  , a notação abreviada para   é   para módulos à esquerda e   para módulos à direita. Então, pode-se escrever um tipo de lei associativa:   para módulos à esquerda, e   para módulos à direita.

Uma subrepresentação de uma representação   de uma álgebra   é um subespaço   o qual é invariante sobre todos os operadores  .

Sejam   duas representações sobre um álgebra  . Um homomorfismo (ou operador intertwining)   é um operador linear o qual comuta com a ação de  , isto é,  . Um homomorfismo   é dito ser um isomorfismo de representações se for um isomorfismo entre espaços vetoriais.

ProposiçõesEditar

Lema de Schur
Sejam   representações irredutíveis de uma álgebra   sobre um corpo qualquer  . Seja   um homomorfismo entre representações não identicamente nulo. Então   é um isomorfismo.
Lema de Schur para corpos algebricamente fechados
Seja   uma representação irredutível de dimensão finita de uma álgebra   sobre um corpo algebricamente fechado  , e   é um operador interwinning. Então   (o operador escalar).

NotasEditar

  1. Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p. 279-280.

ReferênciasEditar

  • Hazewinkel, M.; Gubareni, N.M. and Kirichenko, V.V. (2004). Algebras, rings and modules. [S.l.]: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402026904