Abrir menu principal

Topologia da ordem

A topologia da ordem é a topologia associada a uma relação de ordem em um conjunto.

DefiniçãoEditar

Seja   um conjunto ordenado, em que a relação de ordem não precisa ser de ordem total. Podemos associar 3 topologias a essa relação de ordem parcial, definidas por suas sub-bases:

  • A topologia da ordem à esquerda, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma  .
  • A topologia da ordem à direita, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma  .
  • A topologia da ordem, em que a sub-base é formada pelos conjuntos   e  .

Ordem TotalEditar

Se a relação é de ordem total, então a topologia da ordem é Hausdorff.

Prova: sejam  . Considere os abertos   e  . Se sua interseção for vazia, então provamos que a e c estão separados por abertos. Caso contrário, existe  , portanto  . Então separamos a e c pelos abertos disjuntos   e  .

Como contraexemplo, temos o conjunto {2, 3, 6} ordenado pela relação   quando a for um divisor próprio de b. A sub-base da topologia da ordem contém os conjuntos  ,  ,   e  , portanto a topologia da ordem é   que não é Hausdorff.

  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.