Transformada Z

A Transformada Z é de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital.

A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais.

Matematicamente, a transformada bilateral é uma série de potências inteiras da variável complexa z, que, muitas vezes, pode ser escrita de maneira compacta como uma função fechada na variável complexa z.

Este último fato e as propriedades da transformada Z, permitem transformar equações de diferenças em equações algébricas que, em alguns casos, podem ser resolvidas facilmente.

Definição (transformada z bilateral)Editar

Seja   definida para  . A Transformada Z bilateral da função   é dada por:

 

Transformada InversaEditar

  onde   é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.

 
Região de convergência da tranformada Z

Região de convergênciaEditar

A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.

 

No caso em que  , para  , a série converge para valores de   em módulo, maiores que o raio de convergência  :

   

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano   que se encontram fora do círculo de raio  , centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).

Propriedades da Transformada Z bilateralEditar

Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas z bilaterais:

 

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

LinearidadeEditar

 

Teorema do valor inicialEditar

 

Teorema do valor finalEditar

 

Deslocamento temporalEditar

AtrasoEditar

Se   é um sinal discreto, então

 

Definindo  

 

Mudança de EscalaEditar

 

Derivada da Transformada ZEditar

 

Transformadas das sucessões de senos e co-senosEditar

Consideremos uma função discreta

 

onde   e   são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é também válido para números reais já que a série geométrica também converge no plano complexo, obtemos

 

multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador, podemos separar as partes real e imaginária

 

Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo   e a linearidade da transformada Z, podemos escrever

 

onde   e   são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos

 

onde as constantes   e   são definidas por

 

Multiplicação por exponencialEditar

A multiplicação da sequência   por uma sequência exponencial da forma   corresponde a uma dilatação no domínio de  :

 

Reversão temporalEditar

 

Convolução em Tempo DiscretoEditar

 

Transformada da DerivadaEditar

 

Significado Físico da transformada ZEditar

Seja  

 
Função de Transferência

 

Assim, a função transferência   significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado

Relação com a Transformada de LaplaceEditar

A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.
Seja um sinal,   amostrado da forma:

 

onde   é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace   do sinal   é:

 

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável  .[1]

 

Definição (transformada z unilateral)Editar

Seja   definida para  . A Transformada Z uniateral da função   é dada por:

 

Propriedades da Transformada Z unilateralEditar

Se um par de funções quaisquer formam o par de transformadas z unilaterais:

 

então, as propriedades anteriores da transformada bilateral são satisfeitas, exceto a que segue:

Deslocamento temporalEditar

 

 

Aplicações da Transformada ZEditar

Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneasEditar

A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) da transformada z unilateral é empregada para resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.

 

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de  , podemos escrever

 

vemos que

 

Assim, a transformada da equação de diferenças será

 

e daí obtemos

 

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de fora um fator   no numerador, que será necessário manter em todas as frações parciais.[2]

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:

 

multiplicando cada fração parcial pelo fator   que deixamos de fora, obtemos o lado direito da (Equação)

 

assi,, encontramos a solução do problema de valores iniciais

 

Circuito elétricoEditar

 
Circuito escada simétrico de (k+1) malhas

Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.

Sendo todas as resistências iguais,  , onde   represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e  , a intensidade de corrente que passa nessa resistência.

Analisando a primeira malha, tem-se que:

 , ou ainda,

 
Primeira malha do circuito

 

Da segunda malha segue:

 , ou seja

 

Assim percebe-se que, não é preciso conhecer   para obter  , pois

 

 
k_ésima malha do circuito

Tem-se ainda, uma série:  

, que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de   para qualquer elemento   do circuito.

Aplicando a Transformada  , obtém-se:

 ou seja,

 

Assim,  

Consequentemente,  

Aplicando a Transformada inversa

 

Sendo a solução desta equação de diferenças dada por

 

Tabela de Transformadas Z selecionadasEditar

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável.[3] Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função    
impulso unitário    
impulso atrasado    
degrau unitário    
rampa    


rampa quadrática    


rampa cúbica    


exponencial    


exponencial atrasada    


rampa exponencial    


rampa quadrática exponencial    


rampa quadrática exponencial    


Seno exponencial    
Cosseno exponencial (I)    
Cosseno exponencial (II)    


Cosseno exponencial (III)    


Cosseno exponencial (IV)    

 

 

 
Nota explicatória:

Referências

  1. Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. [S.l.]: John Wiley & Sons. 
  2. Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 22 de julho de 2013 
  3. P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. Carmichael: Berkeley-Cambridge Press. 674 páginas. ISBN 0-941413-35-7 
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