Transformada Z

O conceito de TransformadaEditar

Em engenharia, a ideia por trás do nome “transformada” consiste basicamente em uma operação matemática que tem por finalidade promove algum tipo de simplificação. Dessa forma, o logaritmo consiste, provavelmente, na ferramenta mais antiga de que se tem notı́cia cujo conceito se aproxima da ideia de transformada, uma vez que transforma multiplicações e divisões em somas e subtrações, além de ser útil na resolução de equações cujos expoentes são desconhecidos (Boyer, 1974).[1] Em verdade, o conceito das transformadas vai muito além dos logaritmos no contexto da engenharia, em que desempenham papel importante. Entre as mais conhecidas (e com certeza mais utilizadas) figura a Transformada Z.

Por que Z?Editar

A transformada Z é um método operacional muito útil no tratamento de sistemas (de tempo) discretos. É também de grande importância na análise de sinais digitais e no projeto de sistemas de controle digitais. Seu nome já é em si incomum, por se tratar de uma letra do alfabeto e não o nome de algum cientista famoso. Sabe-se que a transformada de Laplace (1749-1827) tem sido usada desde longa data na solução de equações diferenciais contínuas e invariantes no tempo. Entretanto, métodos para o tratamento de problemas de tempo discreto são relativamente recentes. De acordo com (Strum and Kirk, 1994),[2] um método para a resolução de equações de diferenças lineares e invariantes no tempo foi apresentado por Gardner e Barnes, aos seus alunos de engenharia no ı́nicio da década de 1940. Eles aplicaram tal procedimento, que era baseado principalmente em “jump functions” (funções usadas para representar uma sequência de dados amostrados), na resolução de linhas de transmissão e aplicações envolvendo funções de Bessel. Tal abordagem era bastante complexa, e, na tentativa de “dividir para simplificar”, uma transformação de um sinal amostrado foi proposta em 1947 por Witold Hurewicz (1904-1956) (Kuperberg, 1996).[3] Tal transformação era escrita como função da sequência amostrada f (no domı́nio do tempo) ao invés do número complexo z da notação moderna:[4]

Definição 1 (transformada z bilateral)Editar

Seja   definida para  . A Transformada Z bilateral da função   é dada por:

 

Em 1952, cinco anos após a tentativa de Hurewicz, a transformação foi batizada de Transformada Z pelo Sampled-data control group, liderada por John Ralph Raggazini (1912-1988), com Eliahu Ibrahim Jury (que, na época, era aluno de doutorado de Raggazini, mas que acabou sendo um dos principais desenvolvedores da teoria), Lotfi Zadeh (famoso pela criação da lógica Fuzzy) e colaboradores da Columbia University, com o artigo “The Analysis of sampled-Data Systems” (Ragazzini and Zadeh, 1952),[5] considerado por muitos como o trabalho pioneiro sobre a transformada Z. E, segundo o próprio Zadeh, o termo “Z" foi utilizado simplesmente porque era pouco usado no contexto da Engenharia Elétrica,[4] ainda que lembre o nome do próprio Zadeh.

Transformada InversaEditar

  onde   é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.

 
Região de convergência da tranformada Z

Região de convergênciaEditar

A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.

 

No caso em que  , para  , a série converge para valores de   em módulo, maiores que o raio de convergência  :

   

Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano   que se encontram fora do círculo de raio  , centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).

Propriedades da Transformada Z bilateralEditar

Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas z bilaterais:

 

então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.

LinearidadeEditar

 

Teorema do valor inicialEditar

 

Teorema do valor finalEditar

 

Deslocamento temporalEditar

AtrasoEditar

Se   é um sinal discreto, então

 

Definindo  

 

Mudança de EscalaEditar

 

Derivada da Transformada ZEditar

 

Transformadas das sucessões de senos e co-senosEditar

Consideremos uma função discreta

 

onde   e   são constantes reais. Usando o resultado da (Equação), o qual é também válido para números reais já que a série geométrica também converge no plano complexo, obtemos

 

multiplicando o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador, podemos separar as partes real e imaginária

 

Por outro lado, se usarmos a representação polar do número complexo   e a linearidade da transformada Z, podemos escrever

 

onde   e   são o módulo e ângulo polar do número complexo. Comparando as partes reais e imaginárias das duas últimas equações, obtemos as transformadas de duas sucessões com senos e co-senos

 

onde as constantes   e   são definidas por

 

Multiplicação por exponencialEditar

A multiplicação da sequência   por uma sequência exponencial da forma   corresponde a uma dilatação no domínio de  :

 

Reversão temporalEditar

 

Convolução em Tempo DiscretoEditar

 

Transformada da DerivadaEditar

 

Significado Físico da transformada ZEditar

Seja  

 
Função de Transferência

 

Assim, a função transferência   significa o sinal de entrada atrasado por um período de amostragem, como mostra a figura ao lado

Relação com a Transformada de LaplaceEditar

A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.
Seja um sinal,   amostrado da forma:

 

onde   é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace   do sinal   é:

 

Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável  .[6]

 

Definição (transformada z unilateral)Editar

Seja   definida para  . A Transformada Z uniateral da função   é dada por:

 

Propriedades da Transformada Z unilateralEditar

Se um par de funções quaisquer formam o par de transformadas z unilaterais:

 

então, as propriedades anteriores da transformada bilateral são satisfeitas, exceto a que segue:

Deslocamento temporalEditar

 

 

Aplicações da Transformada ZEditar

Resolução de equações de diferenças lineares não homogêneasEditar

A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) da transformada z unilateral é empregada para resolução de equações de diferenças lineares com coeficientes constantes. Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no domínio do tempo.

 

Usando a expressão que obtivemos para a transformada de  , podemos escrever

 

vemos que

 

Assim, a transformada da equação de diferenças será

 

e daí obtemos

 

O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em frações parciais, mas deixando de fora um fator   no numerador, que será necessário manter em todas as frações parciais.[7]

Consequentemente, as frações que deverão ser expandidas são:

 

multiplicando cada fração parcial pelo fator   que deixamos de fora, obtemos o lado direito da (Equação)

 

assi,, encontramos a solução do problema de valores iniciais

 

Circuito elétricoEditar

 
Circuito escada simétrico de (k+1) malhas

Considerando um circuito elétrico de forma escada, conforme figura ao lado, constituído por (k+1) malhas fechadas.

Sendo todas as resistências iguais,  , onde   represente a tensão elétrica medida sobre a resistência e  , a intensidade de corrente que passa nessa resistência.

Analisando a primeira malha, tem-se que:

 , ou ainda,

 
Primeira malha do circuito

 

Da segunda malha segue:

 , ou seja

 

Assim percebe-se que, não é preciso conhecer   para obter  , pois

 

 
k_ésima malha do circuito

Tem-se ainda, uma série:  

, que é uma equação de diferenças de segunda ordem, cuja solução da o valor de   para qualquer elemento   do circuito.

Aplicando a Transformada  , obtém-se:

 ou seja,

 

Assim,  

Consequentemente,  

Aplicando a Transformada inversa

 

Sendo a solução desta equação de diferenças dada por

 

Tabela de Transformadas Z selecionadasEditar

A tabela a seguir provê as transformadas Z para as funções mais comuns de uma variável.[8] Para definições e exemplos, veja a nota explicatória no fim da tabela.

Função    
impulso unitário    
impulso atrasado    
degrau unitário    
rampa    


rampa quadrática    


rampa cúbica    


exponencial    


exponencial atrasada    


rampa exponencial    


rampa quadrática exponencial    


rampa quadrática exponencial    


Seno exponencial    
Cosseno exponencial (I)    
Cosseno exponencial (II)    


Cosseno exponencial (III)    


Cosseno exponencial (IV)    

 

 

 
Nota explicatória:

Referências

  1. Boyer, C. B. (1974). História da Matemática. São Paulo: Edgar Blucher. ISBN 8521206410 
  2. Strum, R. S.; Kirk, D. E. (1994). Contemporary Linear Systems using MATLAB. [S.l.]: PWS publishing company. ISBN 0534371728 
  3. Kuperberg, K., ed. (1996). «Collected works of Witold Hurewicz». Am. Math. Soc. v. 4 
  4. a b Tonidandel, D. A. V. (12 de setembro de 2010). «Decifrando a transformada Z». Sociedade Brasileira de Automática. Anais do CBA 2010 - XVIII Congresso Brasileiro de Automática. Consultado em 22 de maio de 2022 
  5. Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. (1952). «The analysis of sampled-data systems». AIEE Trans. v. 7: p. 225-234. Consultado em 22 de maio de 2022 
  6. Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. [S.l.]: John Wiley & Sons. 
  7. Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 22 de julho de 2013 
  8. P. Lathi, Bhagawandas (1998). Signal Processing and Linear Systems (em inglês) primeira ed. Carmichael: Berkeley-Cambridge Press. 674 páginas. ISBN 0-941413-35-7 
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