Trapézio (geometria)

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Na geometria o trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base maior e base menor.

Trapézio (geometria)

Trápezio retângulo
Arestas e Vértices 4
Área

Definição editar

A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.[1]

 

Alguns autores[2] definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da aproximação trapezoidal para a integral definida fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.[3]

Propriedades dos trapézios editar

Os trapézios possuem as seguintes propriedades:[1]

  1. Em qualquer trapézio   de bases   e   temos que  .
  2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
  3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Demonstração das propriedades editar

1º Propriedade editar

Em qualquer trapézio   de bases   e   temos que  

 
 

 ,   é transversal  

e

 ,   é transversal  

Logo temos que

 

 
 

2° Propriedade editar

Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

 

Tomando dois pontos   e  , de modo que ambos estejam em   e que   e  .

Como   é um trapézio nós sabemos que  , o que implica que  , por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos   e  , podemos ver que eles são congruentes:

 

Como os triângulos são congruentes, temos que  .

Por fim, visto que   e   são suplementares de   e  , respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos:  .

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3º Propriedade editar

 
 

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

 

Observe os triângulos   e  , que são congruentes:

 

Sabendo que os triângulos são congruentes temos:  

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Cálculo da área editar

 
Um trapézio.

A área A de um trapézio simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por[3]

 

em que B e b são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e h é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC Aryabhata, um grande matemático-astrônomo da era clássica da matemática e física indiana, usou este método no Ariabatiia (seção 2.8).[4] A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um triângulo, considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A mediana do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:

 

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:

 

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:

 

Referências

  1. a b Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana. [S.l.]: Atual 
  2. «American School definition from "math.com"». Consultado em 14 de abril de 2008 
  3. a b Weisstein, Eric W. «Trapezoid» (em inglês). MathWorld 
  4. Aryabhatiya Arquivado em 2011-08-15 na Archive.today em marata: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9
 
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