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Trapézio
Trapézio retângulo.PNG
Trápezio retângulo
Arestas e Vértices 4
Área

Na geometria, o trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base maior e base menor.

Índice

DefiniçãoEditar

A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.[1]

 

Alguns autores[2] definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da aproximação trapezoidal para a integral definida fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.[3]

Propriedades dos trapéziosEditar

Os trapézios possuem as seguintes propriedades:[1]

  1. Em qualquer trapézio   de bases   e   temos que  .
  2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
  3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Demonstração das propriedadesEditar

1º PropriedadeEditar

Em qualquer trapézio   de bases   e   temos que  

 
 

 ,   é transversal  

e

 ,   é transversal  

Logo temos que

 

 
 

2° PropriedadeEditar

Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

 

Tomando dois pontos   e  , de modo que ambos estejam em   e que   e  .

Como   é um trapézio nós sabemos que  , o que implica que  , por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos   e  , podemos ver que eles são congruentes:

 

Como os triângulos são congruentes, temos que  .

Por fim, visto que   e   são suplementares de   e  , respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos:  .

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3º PropriedadeEditar

 
 

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

 

Observe os triângulos   e  , que são congruentes:

 

Sabendo que os triângulos são congruentes temos:  

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Cálculo da áreaEditar

 
Um trapézio.

A área A de um trapézio simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por[3]

 

em que B e b são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e h é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC Aryabhata, um grande matemático-astrônomo da era clássica da matemática e física indiana, usou este método no Ariabatiia (seção 2.8).[4] A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um triângulo, considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A mediana do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:

 

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:

 

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:

 

Referências

  1. a b Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana. [S.l.]: Atual 
  2. «American School definition from "math.com"». Consultado em 14 de abril de 2008 
  3. a b Weisstein, Eric W. «Trapezoid» (em inglês). MathWorld 
  4. Aryabhatiya Arquivado em 2011-08-15 no Archive.is em marata: आर्यभटीय , Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9
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