Triângulo retângulo

triângulo que possui um ângulo reto
Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo , enquanto o lado é o lado adjacente ao ângulo e oposto ao ângulo .

Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.

Principais propriedadesEditar

ÁreaEditar

Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área   é

 

onde   e   são os catetos do triângulo.

Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa   no ponto  , denotando o semiperímetro   como  , teremos   e  , e a área será dada por

 

Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.[1]

AlturasEditar

 
Altura de um triângulo retângulo

Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:

  • A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.[2]:243
  • Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.

Em equações,

  (isso às vezes é conhecido como o teorema da média geométrica)
 
 

onde  ,  ,  ,  ,  ,   são mostrados no diagrama.[3] Portanto

 

Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por[4][5]

 

A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.

Teorema de PitágorasEditar

 Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema pitagórico afirma que:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).

Isso pode ser afirmado na forma de equação como

 

onde   é o comprimento da hipotenusa e   e   são os comprimentos dos dois lados restantes.

Os triplos pitagóricos são valores inteiros de  ,  ,   que satisfazem esta equação.

Inraio e circunraioEditar

 
Ilustração do teorema pitagórico

O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos   e   e hipotenusa   é

 

O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,

 

Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:[6]

 

Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como

 

CaracterizaçõesEditar

Um triângulo   com lados  , semiperímetro  , área  , altura   oposta ao lado mais longo, circunraio  , inraio  , exraio  ,  ,   (tangente a  ,  ,   respectivamente) e medianas  ,  ,   é um triângulo retângulo se, e somente se, alguma das afirmações na as seis categorias a seguir são verdadeiras. Todos eles também são propriedades de um triângulo retângulo, já que caracterizações são equivalências.

Lados e semiperímetroEditar

  •  
  •  
  •  [7]
  •  [8]

ÂngulosEditar

  • A e B são complementares.[9]
  •  [8][10]
  •  [8][10]
  •  [10]
  •  

ÁreaEditar

  •  
  •  
  •  
  •  , onde   é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo  .[11]

Inraio e exraioEditar

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  [12]

Altura e medianasEditar

  •  
  •  [6]:Prob. 954, p. 26
  • O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio.
  • A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a média geométrica dos segmentos de reta em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o teorema da altura do triângulo retângulo.

Círculo inscrito e circunscritoEditar

Referências

  1. Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", Mathematical Gazette 87, Julho de 2003, pp. 323-324.
  2. Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
  3. Wentworth p. 156
  4. Voles, Roger, "Integer solutions of  ," Mathematical Gazette 83, Julho de 1999, 269–271.
  5. Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, Julho de 2008, 313–317.
  6. a b c d Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum, [1].
  7. Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011
  8. a b c d Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
  9. Properties of Right Triangles
  10. a b c CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2].
  11. Darvasi, Gyula (março de 2005), «Converse of a Property of Right Triangles», The Mathematical Gazette, 89 (514): 72–76 .
  12. Bell, Amy (2006), «Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization» (PDF), Forum Geometricorum, 6: 335–342 

BibliografiaEditar

Ligações externasEditar

 
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