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Triângulo retângulo

triângulo que possui um ângulo reto
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ΔABC é um triângulo retângulo, pois BĈA = 90°
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Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

Índice

Elementos do triângulo retânguloEditar

 
Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:

CatetosEditar

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.

Altura relativa à hipotenusaEditar

A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.

Projeções dos catetosEditar

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

Relações métricas do triângulo retânguloEditar

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados ao traçar a altura relativa à hipotenusa são retângulos e semelhantes.

 
Ilustração dos principais elementos do triângulo retângulo: a é a hipotenusa, b o cateto maior, c o cateto menor, h a altura relativa à hipotenusa, m a projeção do cateto b e n a projeção do cateto c
  • A hipotenusa é igual à soma das projeções.
 

Por semelhança de triângulos, temos que:

  • O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.
  •  :  
  • O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção (que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.
  •  :  
  •  :  
  • O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.
  •  :  

Teorema de PitágorasEditar

O Teorema de Pitágoras diz que:

ou, em linguagem matemática:

hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²

Relações trigonométricas do triângulo retânguloEditar

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.

Seno de um ânguloEditar

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :

 

Cosseno de um ânguloEditar

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

 

Tangente de um ânguloEditar

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem::

 

Cotangente de um ânguloEditar

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

 

Secante de um ânguloEditar

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

 

Cossecante de um ânguloEditar

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:

 

Ângulos notáveisEditar

Graus Radianos sen cos tg cotg sec cossec
0 0            
30              
45              
60              
90              

Circunferência inscrita em um triângulo retânguloEditar

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

 
  •   cateto
  •   cateto
  •   hipotenusa
  •   raio da circunferência inscrita
  •   diâmetro da circunferência inscrita
 

Substituindo I e II em III, teremos

 

Como:

 

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar