Usuária:MCarrera (NeuroMat)/média

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore

Média pode ser definida como a soma de números divida pela quantidade de números somados (a média entre 1, 2, 3, 4 e 5 será ${\frac {1+2+3+4+5}{5}}=3$). Em estatística, média é definida como o valor que mostra para onde se concentram os dados de uma distribuição como o ponto de equilíbrio das frequências em um histograma.

Soma de números divida pela quantidade de números somados é chamada de média aritmética. Embora existam outros métodos como mediana e moda, a média aritmética é a forma mais simples de calcular a média.

Média, mediana e moda são chamadas de medidas de tendência central. Medidas de tendência central são valores situados em torno de um valor típico chamado de medida de tendência central.

Média também pode ser definida como um valor significativo de uma lista de valores. Se todos os números forem iguais, o número será a média (em uma lista com os valores 2, 2, 2, 2 e 2, a média será ${\frac {2+2+2+2+2}{5}}=2$). Quando todos os números são iguais, a forma mais simples de calcular a média é escolher aleatoriamente um número (em uma lista com os valores 2, 2, 2, 2 e 2, o número escolhido aleatoriamente será a média).

Entretanto, a palavra média é usualmente usada em métodos mais sofisticados. Em último caso, a média é calculada por meio da combinação de valores de um conjunto de um modo específico e da geração de um valor, a média do conjunto.

História

Origem

O primeiro registro da ampliação da média aritmética de 2 para n casos para realização de estimativas ocorreu no século XVI. Do século XVI em diante, a média gradualmente se tornou um método comum para reduzir erros de medidas em várias áreas.

Na época, os astrônomos queriam saber o valor real de medições imprecisas com a posição de um planeta ou o diâmetro da lua. Com a média de vários valores medidos, cientistas assumiram que o número de erros era relativamente pequeno em comparação com o total de valores medidos. O método de tirar a média para reduzir os erros de observação foi principalmente desenvolvido na astronomia.

Um possível precursor da média aritmética é a mid-range (média de dois valores extremos), usada na astronomia árabe do século IX ao século XI e também na metalurgia e na navegação.

Entretanto, há várias outras referências vagas sobre o uso da média aritmética. Elas não são tão claras, mas podem ter relação com a definição moderna de média. De acordo com um texto referente ao século IV:

“ Em primeiro lugar, devemos estabelecer uma sequência de números de mônada a 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em seguida, devemos acrescentar o montante de todos os números juntos e, uma vez que a sequência contém nove termos, devemos procurar a nona parte do todo para verificar se ela está naturalmente presente entre os números da sequência, então encontraremos que a propriedade de ser [um] nono [da soma] apenas pertence a própria média [aritmética]. Existem potenciais referências ainda mais antigas. Há registros de que por volta de 700 aC, comerciantes e transportadores concordaram que o dano à carga e ao navio (sua contribuição em caso de danos no mar) deveria ser dividido igualmente entre eles. Isso deve ter sido calculado usando média, embora pareça não haver registros direto do cálculo. ”

Etimologia

De acordo com o Oxford English Dictionary, poucas palavras receberam uma maior investigação etimológica.

Em um primeiro uso em inglês da palavra datado do final do século XV, média significava taxas alfandegárias e era usada na região do Mediterrâneo. Em seguida, média passou a significar o custo dos danos ocorridos no mar. Inclusive, surgiu o termo regulador de média para designar a pessoa que decidia como dividir os danos entre os proprietários e os seguradores do navio e da carga.

Os danos ocorridos em mar (médias particulares) eram arcados apenas pelos proprietários da carga danificada (média geral), de modo que o proprietário podia reivindicar uma contribuição proporcional de todas as partes do empreendimento marítimo. O tipo de cálculo usado para regular a média geral deu origem ao uso da média como média aritmética.

Em um segundo uso em inglês da palavra datado de 1674, média (averish) significava o resíduo ou o segundo crescimento dos campos de colheita que eram considerados apropriados para o consumo pelos animais de tração (avers). A raiz da palavra average (média, em inglês) é encontrada em árabe como awar, em italiano como avaria, em francês como avarie e em holandês como averij. Não está claro em qual língua a palavra apareceu pela primeira vez.

Já em um uso antigo e diferente da palavra datado do século XI, média parecia ser um termo legal para a obrigação de um dia de trabalho para um xerife. O termo legal provavelmente anglicizado de avera foi encontrado no Domesday Book, registro antigo com informações sobre a população inglesa do século XI.

Definição informal

Em estatística, dados possuem posições. Por exemplo, cada valor dos lançamentos de um dado, possui sua posição em uma planilha eletrônica. Em estatística, média é uma medida de posição que indica um valor uniforme dos dados. Por exemplo, o conjunto $x=\{2,1,6,5,10\}$ possui média aritmética ${\bar {x}}=4,8$. Embora $4,8$ seja o valor médio, ele não é o valor central definido pela mediana.

Definição formal

Média aritmética

Ver artigo principal: Média aritmética

Sejam n o número total de valores e x_i cada valor, em que i = 1, ..., n. Média aritmética é a soma dos valores x_i dividido pelo número total de valores n:

${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+....+x_{n}}{n}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$.

Média geométrica

Ver artigo principal: Média geométrica

Média geométrica é a n-ésima raiz do produto de todos os valores x₁, x₂, ... , x_n:

${\text{MG=}}{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$

Média pode ser pensada como o antilogaritmo da média aritmética dos logaritmos dos números. Por exemplo, a média geométrica de 2 e 8 é $MG={\sqrt {2\cdot 8}}=4.$

Média harmônica

Ver artigo principal: Média harmônica

Média harmônica é a recíproca da média aritmética para os valores x_i:

$MH={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}.$

Média harmônica é usada no cálculo de média de velocidade. Por exemplo, se a velocidade de ida um veículo do ponto A ao ponto B é de 60 km/h e a velocidade de volta do mesmo veículo do ponto A ao ponto B é de 40 km/h, então a velocidade média é dada por ${\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48.$ Entretanto, se o veículo tivesse viajado por metade do tempo em uma velocidade e metade do tempo em outra velocidade, a média aritmética de 50 km/h proveria a noção correta de média.

Média harmônica também é usada no cálculo da resistência equivalente em uma associação de vários resistores em paralelo. Por exemplo, se três resistores de valores R1, R2 e R3 estiverem em paralelo, então a resistência R do circuito é dada por $R={\frac {1}{{\frac {1}{R1}}+{\frac {1}{R2}}+{\frac {1}{R3}}}}.$

Média Ponderada

Média ponderada é a média aritmética com um cociente $x_{i}$ ponderando os valores. O valor de $x_{i}$ pode ser sempre igual ou diferente:

${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$

Diferença entre média aritmética, média geométrica e média harmônica

Uma diferença conhecida entre média aritmética, média geométrica e média harmônica é que$MA\geq GM\geq HM$, para qualquer conjunto de números positivos (a ordem alfabética das letras A para aritmética, G para geométrica e H para harmônica facilita a memorização da propriedade).

Exemplos

Média aritmética

Uma fábrica produz 200, 100, 50, 100, 150 e 200 unidades de um produto entre janeiro e junho. Qual a produção média mensal da fábrica no semestre?

Para encontrar a produção média mensal da fábrica no semestre, é preciso calcular a média $M$ ou o valor matemático da sua produção média mensal entre janeiro e junho. Se a fábrica tivesse o mesmo desempenho entre janeiro e junho, sua produção total seria $6\times M=6M$ unidades no semestre.

Então:

$6M=200+100+50+100+150+200=$

$M={\frac {100+100+50+50+150+150}{6}}=$

${\frac {600}{6}}=100$.

Isto é, a fábrica produz em média 100 unidades entre janeiro e junho.

Média geométrica

O aumento da taxa de crescimento de uma empresa em novembro e em dezembro foi de $4\%$ e $20\%$, respectivamente. Qual a taxa de crescimento média mensal da empresa no período?

Embora o cálculo ${\frac {4\%+20\%}{2}}={\frac {24\%}{2}}=12\%$ pareça razoável, é preciso encontrar uma mesma taxa de crescimento $i$ para o período. O crescimento total da empresa no período foi de $100\times 1,04\times 1,20=124,8$. Sejam $100(1+i)$ o crescimento total da empresa em novembro e $100(1+i)^{2}$ o crescimento total da empresa em dezembro.

Então:

$100(1+i)^{2}=124,8=$

$(1+i)^{2}=1,248=$

$1+i={\sqrt[{}]{1,248}}=$

$1+i\cong 1,17=$

$i\cong 0,17$

Isto é, a taxa de crescimento média mensal da empresa foi de cerca de 17% no período.

Média harmônica

Um concurso que distribui anualmente um prêmio de R$ 180 teve 1 ganhador no primeiro ano e 3 ganhadores no segundo ano. Qual foi o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos?

O número médio de ganhadores é ${\frac {1+3}{2}}={\frac {4}{2}}=2$ , o que não significa que o prêmio médio dos ganhadores tenha sido ${\frac {R\$180}{2}}=R\$90$ nos dois anos. Para encontrar o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos, é preciso calcular o prêmio médios dos ganhadores no primeiro ano e o prêmio médios dos ganhadores no segundo ano. Sejam ${\frac {R\$180}{1}}=R\$180$ o prêmio médio do ganhador no primeiro ano e ${\frac {R\$180}{3}}=R\$60$ o prêmio médio dos ganhadores no segundo ano.

Então:

${\frac {R\$180+R\$60}{2}}=R\$120$

Isto é, o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos foi R$ 120.

Em termos algébricos:

${\frac {180\times {\frac {1}{1}}+180\times {\frac {1}{3}}}{3}}=$

$180\times {\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}}{3}}=$

$180+{\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}}}$

Portanto, a média harmônica é ${\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}}}$.

Média ponderada

Em um grupo de pessoas, 20% delas são adultas e 80% delas são crianças. Os adultos pesam em média 75 quilos e as crianças pesam em média 45 quilos. Qual o peso médio do grupo?

Os adultos correspondem a 20% ou a 0,2 do grupo, enquanto as crianças correspondem a 80% ou a 0,8 do grupo. A média ${\frac {75+45}{2}}=60$ não está correta porque a média dos pesos médios dos adultos e das crianças não demonstram o peso médio do grupo. Se 20% das pessoas do grupo pesam 75 quilos, então 0,2 x 75 = 15 quilos. Se 80% das pessoas do grupo pesam 45 quilos, então 0,8 x 45 = 36 quilos.

Então:

$(0,2\times 75)+(0,8\times 45)=$

$15+36=51$

Isto é, o peso médio do grupo é 51 quilos. Foi possível calcular a média ponderada a partir das diferentes proporções entre adultos e crianças no grupo.

Exemplos aplicados ao mercado financeiro

Taxa de retorno e CAGR

Taxa de retorno é um tipo de média usada em finanças. Quando a taxa de retorno é anual, ela é chamada de taxa composta anual de crescimento (CAGR).

Seja um investimento em um período de dois anos com taxa de retorno de –10% no primeiro ano e +60% no segundo ano. A taxa de retorno ou a taxa composta anual de crescimento $R$ é obtida pelo cálculo da seguinte equação

$(1-10\%)\times (1+60\%)=(1-0,1)\times (1+0,6)=(1+R)\times (1+R)$.

O valor de $R$ que torna a equação verdadeira é 0,2 (equivalente a 20%), o que significa que o retorno total sobre um investimento em um período de dois anos é igual ao retorno total se houve crescimento de 20% em cada ano. Lembrando que a ordem dos anos não faz diferença (as taxas de retorno de 60% e –10% dariam os mesmos resultados se as taxas de retorno fossem de –10% e 60%).

O método pode ser ampliado para exemplos nos quais os períodos não são iguais. Seja a taxa de retorno de –23% em um período de meio ano e +13% em um período de dois anos e meio. A taxa de retorno para os dois períodos é igual ao retorno anual $R$, obtido pelo cálculo da seguinte equação:$(1-0,23)^{0,5}\times (1+0,13)^{2,5}=(1+R)^{0,5}+2,5$,

que resulta em uma taxa de retorno $R$ de 0.0600 ou 6.00%.

Média móvel

Dada uma série temporal como os preços diários das ações, deseja-se muitas vezes criar a smoother series. Isso ajudar a mostrar as tendências subjacentes ou os comportamentos periódicos dos fenômenos. Uma maneira fácil de fazer isso é escolher um número n e criar uma série, calculando a média aritmética dos primeiros n valores then moving forward one place and so on. Essa a forma mais simples de média móvel.

Formas mais complicadas de média móvel envolvem média ponderada. A ponderação pode ser usada para melhorar ou suprimir vários comportamentos periódicos. Há uma análise muito extensa sobre quais ponderações usar na literatura sobre filtro digital. No processamento de sinal, o termo média móvel é usado mesmo quando a soma dos pesos não é 1 (então, the output series é uma versão em escala das médias). O motivo é que a análise é geralmente voltada somente para o comportamento periódico. Uma outra generalização é uma média móvel autoregressiva, em que a média também inclui alguns dos outputs recém calculados. Isso permite que amostras antigas história afetem output recentes.

Generalização da média

Entre outros tipos mais sofisticados de média estão tri-média, tri-mediana e média normalizada. É possível criar uma métrica de média usando uma f-média generalizada:

$y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)$,

em que $f$ é qualquer função inversível. Por exemplo, a média geométrica usando $f(x)=log(x)$ e a média harmônica usando $f(x)={\frac {1}{x}}$.

Entretanto, o método envolvendo médias generalizadas não é geral o suficiente para abordar todas as médias. Um método mais geral para definir uma média envolve qualquer função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ de uma lista de elementos contínua, estritamente crescente em cada elemento e simétrica (invariante sob a permutação dos elementos).

A média y é o valor que, quando cada elemento da lista é substituído, resultada no mesmo valor da função: $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})=g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$. Tal definição mais geral aborda a propriedade importante de todas as médias, em que a média de uma lista de elementos iguais é o próprio elemento.

A função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$ fornece a média aritmética. A função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}\times x_{2}\times ...\times x_{n}$, em que a lista de elementos é formada por números positivos, fornece a média geométrica. A função $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=-(x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...+x_{n}^{-1})$, em que a lista de elementos também é formada por números positivos, fornece a média harmônica.

Medidas de tendência central

Nome	Equação / Descrição
Média	Média é o valor médio de uma distribuição. Ela é utilizada para representar todos os valores da distribuição.
Média aritmética	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$
Média geométrica	${\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{1/n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}$
Média harmônica	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
Média ponderada	${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$
Média quadrática (RMS)	${\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}$
Média cúbica	${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}$
Média generalizada	${\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}$
Média heroniana	${\frac {2}{n(n+1)}}\cdot \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}{\sqrt {x_{i}x_{j}}}$
Média aparada (média truncada)	Média aritmética dos valores após um certo número ou uma certa proporção maiores e menores terem sido descartados. Entre os casos de média aparada (média truncada), estão a média interquartílica (amplitude interquartícula) que usa a variação interquartílica e a média de Windsor que em vez de excluir os valores extremos os tornam iguais ao maior e ao menor valores restantes.

Medidas de localização

Mediana

Ver artigo principal: Mediana (estatística)

O número do meio de uma lista de valores em ordem crescente ou decrescente é chamado de mediana (se houver uma quantidade ímpar de valores, a média dos dois números do meio é calculada). Então, para encontra a mediana é preciso ordenar a lista de valores e excluir os maiores e os menores valores até sobrarem um ou dois números. Se sobrar um número, a mediana será ele. Se sobrarem dois números, a mediana será a média aritmética de ambos. Seja a lista de valores 3, 7, 1 e 13. Se a lista de valores for ordenada para 1, 3, 7 e 13 e 1 e 13 forem removidos, sobrarão 3 e 7. Como sobraram dois valores, a mediana será a média aritmética ${\frac {3+7}{2}}=5$.

Moda

Ver artigo principal: Moda (estatística)

O número mais frequente em uma lista de valores é chamado de moda. Por exemplo, a moda de uma lista de valores 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 é 3. Em casos em que dois ou mais números aparecem com mesma frequência ou com maior frequência que outros números, não há uma definição acordada de moda. Há autores que afirmar que todos eles são modas e há autores que afirmam que nenhum deles são modas.