Usuária:MCarrera (NeuroMat)/Testes/Desvio padrão
Em probabilidade, o desvio padrão ou desvio padrão populacional (comumente representado pela letra grega ) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. Em estatística, o desvio padrão ou desvio padrão amostral (comumente representado pela letra latina ) é uma medida de dispersão dos dados em torno de média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado.[1] Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores. O desvio padrão populacional ou amostral é a raiz quadrada da correspondente variância populacional ou amostral, de modo a ser uma medida de dispersão que seja número não negativo e que use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos.[2][3][4]
Em probabilidade e estatística, o desvio padrão é usado para expressar outros conceitos matemáticos importantes como o coeficiente de correlação, o coeficiente de variação ou a alocação ótima de Neyman, entre outros. Há também outras medidas de desvio como o desvio médio absoluto, que fornecem propriedades matemáticas diferentes a partir do desvio padrão.[5] O desvio padrão é mais simples, porém mais robusto que o desvio médio absoluto na prática.[6][7] Além de expressar a variabilidade da população, o desvio padrão comumente é usado para medir a confiança em cálculos estatísticos e geralmente permite sintetizar os resultados de uma experiência repetida várias vezes.[8] Por exemplo, a margem de erro de um conjunto de dados é determinada pelo cálculo do desvio padrão da média ou do desvio padrão populacional inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra, se a mesma pesquisa for repetida várias vezes.[9]
Esta derivação do desvio padrão geralmente é chamada de erro padrão da estimativa ou erro padrão da média (em referência à média). O erro padrão da média é calculado a partir do desvio padrão das médias, as quais poderiam ser computadas a partir de uma população se um número infinito de amostras e uma média para cada amostra fossem considerados. A margem de erro de uma pesquisa é calculada a partir do erro padrão da média (produto do desvio padrão populacional e do inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra), e cerca do dobro do erro padrão da média é a metade da largura de 95% do intervalo de confiança para média (populacional). O desvio padrão populacional e o desvio padrão populacional da média amostral da mesma população são diferentes, porém relacionados pelo inverso da raiz quadrada do número de observações.[10]
O desvio padrão é calculado em todas as áreas que usam probabilidade e estatística, em particular biologia, finanças, físicas e pesquisas em geral. Em ciência, os pesquisadores comumente reportam o desvio padrão dos dados experimentais, em geral, apenas os efeitos mais de dois desvios padrão distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos – por meio de erro aleatório normal ou variação nas medições pode–se distinguir os efeitos prováveis dos efeitos genuínos.[11] Quando apenas uma amostra dos dados da população está disponível, o termo desvio padrão amostral pode referir–se tanto à quantidade mencionada acima quanto à uma quantidade modificada que seja uma estimativa não viesada do desvio padrão populacional. Quando o desvio padrão populacional não é conhecido, o seu valor é aproximado por meio de desvio padrão amostral.[10]
História
editarO desvio padrão é uma grandeza que remete ao século XIX, com o desenvolvimento da estatística no Reino Unido. O conceito medida de dispersão foi criado por Abraham de Moivre e usado em seu livro The Doctrine of Chances em 1718.[12] O termo desvio padrão foi usado pela primeira vez por Karl Pearson em 1894[13][14], em substituição a termos anteriores como erro médio, utilizado por Carl Friedrich Gauss.[15] O símbolo também foi utilizado pela primeira vez por Karl Pearson para representar o desvio padrão.[14]
Em 1908, Wiliam Gosset (mais conhecido sob o pseudônimo Student) definiu o desvio padrão empírico de uma amostra e mostrou que a distinção entre o desvio padrão amostral e o desvio padrão populacional é importante.[14] Somente em 1918, Ronald Fisher definiu a noção da variância no texto The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.[16]
Em probabilidade
editarDefinição
editarSeja uma variável aleatória com média e valor esperado . Então, o desvio padrão de pela definição é a raiz quadrada da variância de ou a raiz quadrada do valor médio de [17]
A fórmula foi derivada a partir das propriedades da esperança.
Desvio padrão de variável aleatória discreta
editarQuando é uma variável aleatória de um conjunto de dados finito , com cada valor tendo a mesma probabilidade , o desvio padrão é
,
em que é a esperança de variável , .[17]
Se os valores tiverem probabilidades diferentes em vez de probabilidade iguais (se tiver probabilidade , se tiver probabilidade , ... , se tiver probabilidade ), o desvio padrão é
,
em que .[17]
Desvio padrão de variável aleatória contínua
editarO desvio padrão de uma variável aleatória contínua com função densidade é
,
em que .[18]
No caso de uma família paramétrica de uma distribuição, o desvio padrão pode ser expresso em termos de parâmetros. Por exemplo, no caso da distribuição log–normal com parâmetros e , com com distribuição normal com parâmetros e , o desvio padrão é .[19]
Desvio padrão de distribuições de probabilidade conhecidas
editarDistribuição | Parâmetros | Descrição | Desvio padrão |
---|---|---|---|
Distribuição de Bernoulli[20] | Distribuição discreta de valor 0 com probabilidade e 1 com probabilidade . | ||
Distribuição binomial[21] | e | Distribuição da soma de variáveis independentes de acordo com a distribuição de Bernoulli de parâmetro . | |
Distribuição geométrica[22] | Distribuição discreta em , tal que a probabilidade de se obter o número inteiro é . | ||
Distribuição uniforme[23] | Distribuição uniforme contínua em , cuja densidade é um múltiplo da função indicadora de . | ||
Distribuição exponencial[23] | Distribuição uniforma contínua com suporte , cuja densidade é a função . | ||
Distribuição de Poisson[24] | Distribuição em , cuja densidade é a função , em que . | ||
Distribuição qui-quadrado[25] | Distribuição em , cuja densidade é a função para todo positivo, em que é a função gama. |
O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade univariada é igual ao desvio padrão de uma variável aleatória com a mesma distribuição. Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, uma vez que os valores esperados podem não existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que segue uma distribuição de Cauchy é indefinido porque seu valor esperado é indefinido.[26]
Propriedades
editar- O desvio padrão é sempre positivo ou nulo.[27] O desvio padrão de uma constante é nulo.[28]
- O desvio padrão de uma variável aleatória a qual foi adicionada uma constante é igual ao desvio padrão da variável aleatória , uma propriedade chamada invariante por translação.[28]
- O desvio padrão de uma variável multiplicada por uma constante positiva é igual a constante multiplicada pelo desvio padrão da variável, uma propriedade chamada invariante por dilatação[29], que pode ser resumida como . Propriedades como invariante de dilatação são consequências diretas do teorema de Huygens e das propriedades de valor esperado.
- O desvio padrão da soma algébrica de duas variáveis é igual a , em que é o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e .[30]
- O desvio padrão segue a desigualdade triangular . Existe igualdade se e somente se existe uma relação linear quase certa entre as duas variáveis . A desigualdade decorre da desigualdade anterior e da desigualdade .
- A função admite o ponto mínimo . Portanto, assume no ponto o valor do desvio padrão da variável aleatória .[31]
Usos
editarEm probabilidade, o desvio padrão compara as variáveis ou as suas distribuições.[17]
Variável aleatória centrada reduzida
editarSe é uma variável aleatória com desvio padrão não nulo, é possível faze–la corresponder a variável aleatória centrada reduzida . Duas variáveis aleatórias centradas e reduzidas e são fáceis de comparar, uma vez que e .[32]
O teorema central do limite é o limite de uma sequência de variáveis aleatórias centradas reduzidas,[33] os coeficientes de assimetria e a curtose de uma densidade de probabilidade e são usados para comparar diferentes distribuições.[34]
Coeficiente de correlação
editarO coeficiente de correlação é outra aplicação do desvio padrão em probabilidade. Se e são duas variáveis aleatórias, o coeficiente de correlação , em que , é a covariância das variáveis aleatórias e . De acordo com a desigualdade de Cauchy–Schwarz , é possível afirmar que assume valores no intervalo .[35] Se , as duas variáveis aleatórias não são correlacionadas. Se , as duas variáveis aleatórias são linearmente independentes.[36]
Desigualdade de Bienaymé–Chebyschev
editarÉ por meio da desigualdade de Bienaymé–Chebyschev que o desvio padrão aparece como uma medida de dispersão em torno da média. A desigualdade de Bienaymé–Chebyschev afirma que e mostra que a probabilidade de desviar–se de ao longo de desvios padrão é menor ou igual a .[37]
A desigualdade de Chebyschev afirma que, para todas as distribuições para as quais o desvio padrão é definido, o volume de dados dentro de uma quantidade de desvios padrão da média é pelo menos os mesmos que os da tabela a seguir.
Distância da média | População mínima |
---|---|
50% | |
75% | |
89% | |
94% | |
96% | |
97% | |
[38] |
Em estatística
editarPara uma população finita e relativamente pequena, o cálculo do desvio padrão é puramente algébrico sem referência à probabilidade. A estatístico utiliza o desvio padrão empírico definido por .[39]
Em estatística, a população é geralmente muito importante em número (não é possível conhecer todos os valores da população). Entre os recursos utilizados em amostragem e estimativa para avaliar os valores está o desvio padrão.[40]
Interpretação
editarUm grande desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados longe da média e um pequeno desvio padrão indica que os pontos dos dados estão agrupados perto da média.[41][42] Por exemplo, cada uma das três populações {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} possui média 7. Os desvios padrão são 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira população tem um desvio padrão menor porque seus valores são próximos de 7.
O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados.[43] Por exemplo, o conjunto de dados {0, 6, 8, 14} representa as idades de uma população de quatro irmão em anos. A média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos. Por exemplo, o conjunto de dados {1000, 1006, 1008, 1014} representa as distâncias percorridas por quatro atletas em metros. A média é de 1007 metros e o desvio padrão é de 5 metros.
O desvio padrão pode servir como medida de incerteza. Em ciências, a precisão de medições repetidas é dada pelo desvio padrão. O desvio padrão é crucial para analisar se as medições batem com a previsão teórica – se a média das medições estiver muito longe da previsão teórica (distância medida pelo desvio padrão), então a teoria testada provavelmente precisa ser revisada.[44][45]
Enquanto o desvio padrão mede a distância dos valores típicos da média, outras medidas estão disponíveis.[17] É o exemplo do desvio médio absoluto, que pode ser considerado uma medida mais direta da distância da média em comparação à distância da raiz quadrada média inerente ao desvio padrão.[46]
Interpretação geométrica
editarSeja uma população com três valores, . Seja um ponto em . Consideramos a linha que é a diagonal principal, partindo da origem. Se os três valores fossem iguais, então o desvio padrão seria 0 e o ponto estaria em . Então, pode–se assumir que o desvio padrão está relacionado à distância entre e . Para mover–se ortogonalmente de para , é preciso partir do ponto , cujas coordenadas são as médias dos valores mencionados acima.[47]
Derivação de
|
---|
está em . Portanto com A linha deve ser ortogonal ao vetor de para . Portanto:
|
A distância entre e (igual à distância entre e ) é igual ao desvio padrão do vetor multiplicado pela raiz quadrada do número de dimensões do vetor (3 dimensões, no caso).[47]
Regras para dados distribuídos normalmente
editarDe acordo com o teorema central do limite, a distribuição da média de muitas variáveis aleatórias distribuídas independentemente e identicamente tende à distribuição normal
com função densidade , em que é o valor esperado das variáveis aleatórias, é igual aos desvios padrão das distribuições dividido por e é o número de variáveis aleatórias. Portanto, o desvio padrão é simplesmente uma variável escalonada que ajusta a amplitude da curva, embora ele apareça também na constante de normalização. Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então a proporção dos valores dos dados dentro do desvio padrão da média é definida por , em que é a função erro. Uma proporção que seja menor ou igual a um número é dada pela função cumulativa
.[48]
Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então cerca de 68% dos valores dos dados estão dentro de um desvio padrão da média ( , em que é a média aritmética), cerca de 95% estão dentro de dois desvios padrão ( ) e cerca de 99,7% estão dentro de três desvios padrão ( ). Isto é conhecido como a regra empírica 68–95–99,7.[49] Para vários valores de , as porcentagens dos valores esperado dentro ou fora do intervalo simétrico são:
Intervalo de confiança | Proporção dentro | Proporção fora | |
---|---|---|---|
Porcentagem | Porcentagem | Fração | |
% 50 | % 50 | ||
68% | 32% | ||
68.2689492% | 31.7310508% | ||
80% | 20% | ||
90% | 10% | ||
95% | 5% | ||
95.4499736% | 4.5500264% | ||
99% | 1% | ||
99.7300204% | 0.2699796% | ||
99.9% | 0.1% | ||
99.99% | 0.01% | ||
99.993666% | 0.006334% | ||
99.999% | 0.001% | ||
99.9993204653751% | 0.0006795346249% | ||
% 99.9999 | % 0.0001 | ||
99.9999426697% | 0.0000573303% | ||
99.99999% | 0.00001% | ||
99.999999% | 0.000001% | ||
99.9999998027% | 0.0000001973% | ||
99.9999999% | 0.0000001% | ||
99.99999999% | 0.00000001% | ||
99.999999999% | 0.000000001% | ||
99.9999999997440% | 0.000000000256% |
Em resumo, de acordo com a regra dos 68–95–99,7, para uma distribuição normal unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio (mesocúrtica):[49]
- 68% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.
- 95% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.
- 99,7% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.
Exemplos
editarDesvio padrão populacional
editarPara um conjunto de dados finito, o desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado.[50]
Sejam as notas de 8 estudantes ( ) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
A média das notas dois oito estudantes é: .
Os desvios entre as nota e a média das notas elevados ao quadrado são:
A variância ou a média de todos os valores é:
O desvio padrão ou a raiz quadrada da variância é . Isto é, o desvio padrão é igual a 2.
Desvio padrão amostral
editarO cálculo da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado é válido apenas se os valores formarem a população total. Se os valores forem parte de uma amostra aleatória extraída de uma população maior (por exemplo, 8 notas extraídas de uma sala de aula de 2 milhões de estudantes), então o denominador da fórmula da variância seria (7) em vez de (8) e o resultado seria chamado desvio padrão amostral.[51][52]
A divisão da soma dos desvios entre as notas e a média das notas por em vez de fornece uma estimativa não viesada do desvio padrão populacional maior, o que é conhecido como correção de Bessel.[53]
Seja a altura média de um homem adulto nos Estados Unidos 1,78 metros com desvio padrão de 7 centímetros. Então, a maioria dos homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 68%) tem entre 7 centímetros acima e 7 centímetros abaixo de 1,78 metros (entre 1,71 metros e 1,85 metros) – um desvio padrão – e praticamente todos os homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 95%) tem entre 14 centímetros acima e 14 centímetros abaixo de 1,78 metros (entre 1,64 metros e 1,92 metros) – dois desvios padrão. Se o desvio padrão fosse 0 centímetros, então todos os homens adultos dos Estados Unidos teriam 1,78 metros. Se o desvio padrão fosse 50 centímetros, então os homens adultos dos Estados Unidos teriam uma variação muito maior de altura (entre 1,21 metros e 2,21 metros). Três desvios padrão representam 99,7% da amostra da população estudada, assumindo que é uma distribuição normal (em forma de sino).
Estimadores
editarUm estimador é uma função que aproxima–se de um parâmetro de uma população por meio de uma amostra aleatória.[54] Dois estimadores do desvio padrão são geralmente utilizados. Os estimadores ou e ou são expressos em função dos valores da amostra por
e .
é o estimador não viesado.[55][56]
Na verdade, uma boa estimativa do desvio padrão real seria , em que é a média da distribuição de . Muitas vezes a média não é conhecida e precisa ser calculada a partir da amostra pela fórmula . Então, a estimativa do desvio padrão é calculado pela fórmula
.[57]
O denominador é em vez de (correção de Bessel) porque o cálculo da média de a partir da amostra perdeu um grau de liberdade,[58] uma vez que a fórmula liga aos valores . Portanto, há apenas valores independente após o cálculo de .
Propriedades dos estimadores
editarDuas propriedades importantes dos estimadores são a convergência e a falta de viés.[56] Se é um estimador do parâmetro , o viés será a quantidade . Se o valor for diferente de zero, significa que está posicionado em torno de em vez de . O estimador é contaminado pelo erro. Um estimador ótimo não tem viés.[59] O estimador do desvio padrão é viesado, mas o viés é aceitável.[60][61]
Se , então converge (em distribuição, em média, em probabilidade, quase certamente) para a medida que aproxima–se do infinito. Entretanto, se e são estimadores convergentes de , refletindo–se na aproximação de para as duas séries quando torna–se cada vez maior.[59] Com o teorema da continuidade que afirma que se é contínua (limite em probabilidade), a função raiz quadrada é contínua, os estimadores e são convergentes também. O teorema da continuidade afirma que se é ume função contínua, então , em que denota convergência em probabilidade. Como a função raiz quadrada é uma função contínua, e são estimadores convergentes do desvio padrão. Isto é, e .[62]
Desvio padrão da média
editarA média e o desvio padrão de um conjunto de dados são estatísticas descritivas geralmente reportadas em conjunto. De uma certa maneira, o desvio padrão é uma medida natural de dispersão estatística se o centro dos dados for medido em relação à média. Isto porque o desvio padrão a partir da média é menor que o desvio padrão a partir de qualquer outro ponto. Sendo números reais, define–se a função Usando cálculo ou completamento de quadrado, é possível mostrar que tem um mínimo único na média [63]
A variabilidade também pode ser medida pelo coeficiente de variação, que é a razão entre o desvio padrão e a média. É um número adimensional.[64]
Geralmente quer–se mais informações sobre a precisão da média obtida. Podemos obte–la determinando o desvio padrão da média amostral. Assumindo a independência estatística dos valores na amostra, o desvio padrão da média está relacionado ao desvio padrão da distribuição por , em que é o número de observações na amostra usado para estimar a média.[65]
Isto pode ser provado com Isto resulta em
É importante ressaltar que para estimar o desvio padrão da média é necessário saber o desvio padrão de toda a população de antemão. Entretanto, este parâmetro é desconhecido na maioria das aplicações. Por exemplo, se uma série de 10 medições de uma quantidade previamente desconhecida é realizada em um laboratório, é possível calcular a média da amostra resultante e o desvio padrão amostral, mas é impossível calcular o desvio padrão da média.[66]
Para estimar a exatidão da estimativa da média de uma variável, o método do cálculo do desvio padrão da distribuição da amostragem das médias é utilizado. Também chamado erro padrão da média e denotado como , é o desvio padrão das médias das amostras de tamanho idêntico de uma população. Se é o tamanho das amostras tomadas a partir do desvio padrão de uma população e se é o tamanho da população, então .[67]
Quando o desvio padrão da população é desconhecido, ele pode ser substituído pelo estimador .[67] Quando é suficientemente grande ( ), a distribuição da amostra provavelmente segue a lei de Laplace–Gauss, que permite deduzir um intervalo de confiança em função de para localizar a média da população a partir da média da amostra.[68][69]
Há casos em que é possível encontrar o desvio padrão de uma população inteira como Teste Z, em que cada membro da população é amostrado. Em casos em que não é possível encontra–lo, o desvio padrão é estimado por meio da análise de uma amostra extraída da população e do cálculo de uma estatística da amostra. Esta estatística da amostra é usada como uma estimativa do desvio padrão populacional.
Entretanto, ao contrário da estimativa da média da população, para a qual a média amostra é um estimador simples com muitas propriedades desejáveis (não viesado, eficiente, máxima verossimilhança), não há um único estimador para o desvio padrão com todas estas propriedades. Frequentemente o desvio padrão é estimado usando o desvio padrão corrigido da amostra e geralmente é referido como o desvio padrão amostral. Porém, outros estimadores são melhores em outros aspectos. O estimador com a correção ( ) produz um erro quadrático médio mais baixo, enquanto o uso de correção para distribuição normal elimina quase completamente o viés.
Desvio padrão não corrigido da amostra
editarPrimeiramente, a fórmula para o desvio padrão populacional de uma população finita pode ser aplicada à amostra usando o tamanho da amostra como o tamanho da população (embora o tamanho verdadeiro da população da qual a amostra é extraída possa ser muito maior). O estimador denotado como é conhecido como desvio padrão não corrigido da amostra ou às vezes como desvio padrão amostral (considerado com a população inteira) e é definido como em que são os valores observados dos itens da amostra, é o valor da amostra das observações, é o tamanho da amostra (raiz quadrada da variância da amostra, que é a média dos desvios quadráticos da média da amostra.[39]
É um estimador consistente (converge em probabilidade para os valores da população à medida que o número de amostras tende ao infinito) e é a estimativa por máxima verossimilhança quando a população é normalmente distribuída. Entretanto, é um estimador viesado na medida em que as estimativas são geradas muito lentamente. O viés diminui conforme o tamanho da amostra aumenta, caindo para e, portanto, é mais significativo para tamanhos pequenos ou moderados de amostras. Para , o viés é menor que 1%. Então, para tamanhos muito grandes de amostras, o desvio padrão não corrigido da amostra é geralmente aceitável. O estimador também têm erro quadrático médio uniformemente menor que o desvio padrão corrigido da amostra.[70]
Desvio padrão corrigido da amostra
editarSe a variância viesada da amostra (o segundo momento central da amostra, que é uma estimativa tendenciosa da variância populacional) é usada para calcular uma estimativa do desvio padrão populacional, retirando a raiz quadrada, introduz−se mais vieses tendenciosos pela desigualdade de Jensen devido à raiz quadrada ser uma função côncava. O viés na variância é facilmente corrigido, mas o viés da raiz quadrada é mais difícil de ser corrigido e depende da distribuição em questão.
Um estimador não viesado da variância é dado pela aplicação da correção de Bessel, usando em vez de para gerar a estimativa da variância não viesada da amostra denotada como
Retirando a raiz quadrada, reintroduz−se o viés porque a raiz quadrada é uma função não linear, que não é comutativa com a expectativa. Isto gera o desvio padrão corrigido da amostra denotado como
Enquanto é uma estimativa não viesada da variância populacional, é uma estimativa viesada do desvio padrão populacional embora notadamente menos viesado que o desvio padrão não corrigido da amostra. O viés continua sendo significativo para pequenas amostras ( ) e também cai para à medida que o tamanho da amostra aumenta. Este estimador é comumente usado e geralmente conhecido simplesmente como desvio padrão amostral.
Desvio padrão não viesado da amostra
editarPara estimativas não viesadas do desvio padrão, não há fórmula que aplique−se a todas as distribuições, ao contrário da média e da variância. é usado como uma base e é escalado por um fator de correção para produzir uma estimativa não viesada. Para a distribuição normal, um estimador não viesado é dado por , em que o fator de correção que depende de é dado em termos da função gama:
Isto ocorre porque a distribuição amostral do desvio padrão amostral segue uma distribuição qui e o fator de correção é a média da distribuição qui. Uma aproximação pode ser dada pela substituição de por :
O erro na aproximação cai quadraticamente para , e é adequado para todas as amostras, com exceção daquelas menores ou de menor precisão. Para , o viés é igual a 1,3% e para o viés é menor que 0,1%. Para outras distribuições, a fórmula correta depende da distribuição, mas uma regra de ouro é usar o refinamento da aproximação:
em que denota o excesso de curtose da população, que pode pode ser tanto conhecido antecipadamente para certas distribuições quanto estimado a partir dos dados.
Intervalo de confiança para o desvio padrão amostral
editarO desvio padrão obtido a partir da distribuição amostral não é absolutamente preciso, tanto por razões matemáticas (aqui explicadas pelo intervalo de confiança) quanto por razões práticas de medição (erro de medição). O efeito matemático pode ser descrito pelo intervalo de confiança. Os seguintes exemplos mostram como uma amostra maior torna o intervalo de confiança menor.
Uma pequena população de tamanho = 3 tem apenas um grau de liberdade para estimar o desvio padrão. O resultado é um intervalo de confiança de 95% com desvio padrão entre 0,45 e 31,90.
Os fatores são em que é o −ésimo quantil da distribuição qui−quadrado com grais de liberdade e é o nível de confiança. Isto é equivalente a
Com , e . As recíprocas da raiz quadrada destes dois números fornecem os fatores 0,45 e 31,90 mencionados acima.
Uma população maior de tamanho tem 9 graus de liberdade para estimar o desvio padrão. Os mesmos cálculos acima fornecem um intervalo de confiança de 95% com desvio padrão entre 0,88 e 1,16. Para ter mais certeza que o desvio padrão amostral será próximo do desvio padrão real, é preciso amostrar um grande número de pontos. As mesmas fórmulas podem ser usadas para obter os intervalos de confiança da variância de resíduos a partir do método dos mínimos quadrados, que se encaixa na teoria normal padrão, em que é o número de graus de liberdade do erro.
Desvio padrão de desvio padrão empírico
editarEm geral, é muito difícil calcular a distribuição de probabilidade de desvio padrão empírico. Porém se é uma sequência de variáveis aleatórias distribuídas de acordo com a distribuição normal , então segue uma distribuição de à grais de liberdade.[71] Esta lei é o desvio padrão . Portanto, o desvio padrão da distribuição das variações das variáveis normais é expresso .[71]
Interpretação de um desvio padrão elevado
editarO conceito de desvio padrão elevado não tem sentido isoladamente. Ele não indica uma dispersão forte que se torna o valor adimensional quando dividido pela média.[72] Um desvio padrão elevado possivelmente pode indicar a existência de um outlier. Um critério consiste em rejeitar os valores que diferem da média em mais de três vezes o desvio padrão, o qual está sob a distribuição normal de uma probabilidade de exceder de .[73]
Pesquisas de opinião
editarEm pesquisas de opinião, o desvio padrão avalia a incerteza das variações acidentais de inerentes à pesquisa, chamada de margem de erro devido às variações acidentais.[74]
Com o método da amostragem representativa, quando os diferentes estratos têm desvios padrão muito diferentes, o desvio padrão é utilizado para calcular a repartição ótima de Neyman, que permite medir a população nos diferentes estratos em função do desvio padrão. Em outros termos, é o tamanho da amostragem do estrato, é o tamanho total do estrato, é o tamanho do estrato e é o desvio padrão do estrato .[74]
Em algoritmo
editarO cálculo do desvio padrão para um programa de computador pode resultar em dados inconsistentes quando não se utiliza um algoritmo adequado como quando se utiliza o algoritmo que opera diretamente a fórmula de grandes amostras de valores entre 0 e 1.[75][76]
Um dos melhores algoritmos é chamado B.P. Welford, descrito por Donald Knuth em seu livro The Art of Computer Programming Vol. 2.[77][78] Uma aproximação do desvio padrão da direção do vento é dada pelo algoritmo de Yamartino, que é usado em anemômetros modernos.[79][80]
Métodos de cálculos rápidos
editarAs duas fórmulas seguintes podem representar um desvio padrão repetidamente atualizado. Um conjunto de duas somas de potências e são calculadas sobre um conjunto de valores de denotados como ,
Dados os resultados das duas somas, os valores , e podem ser usados a qualquer hora para calcular o valor atual do desvio padrão , em que é o tamanho do conjunto de valores (também pode ser denotado como ), como mencionado acima.
Similarmente para o desvio padrão
Em uma implementação de computador, à medida que as três somas aumentam, é preciso considerar o erro de arredondamento, o overflow aritmético e o underflow aritmético. O método abaixo calcula o método das somas correntes com erros de arredondamento reduzidos.[77] Isto é um algoritmo para calcular a variância de amostras sem a necessidade de armazenar dados anteriores durante o cálculo. Aplicando este método a uma série de tempo, resultará em valores sucessivos de desvio padrão correspondente a pontos dados à medida que aumenta com cada nova amostra.
Para
, em que é o valor médio.
, em que desde que ou
A variância da amostra é . A variância da população é .
Cálculo ponderado
editarQuando os valores são ponderados com pesos desiguais , as somas de potências , e são calculadas como
As equações de desvio padrão continuam inalteradas, com a diferença que passa a ser a soma dos pesos em vez do número de observações . O método incremental com erros de arredondamento reduzidos também podem ser aplicados, com alguma complexidade adicional. Uma soma de pesos deve ser computada para cada , de 1 até .
Os locais em que é usado devem ser substituídos por .
Na divisão final, e ou em que é o número total de elementos e é o número de elementos com pesos diferente de 0. As fórmulas mencionadas acima tornam–se iguais às fórmulas mais simples também mencionadas acima se os pesos forem tomados como iguais a 1.
Aplicações
editarO desvio padrão é usado como medida de dispersão de um conjunto de dados. Quanto menor o desvio padrão, mais os valores são agrupados em torno da média.[41][42] Seja a distribuição de notas entre os estudantes de uma sala de aula. Quanto menor o desvio padrão, mais homogêneas serão as notas. Quanto maior o desvio padrão, menos homogêneas serão as notas. Se as notas forem classificadas de 0 a 20, o desvio padrão mínimo será 0 (se todas as notas forem idênticas) e o desvio padrão máximo será 5 (se metade da classe tirar 0 e metade da classe tirar 20). Se estudantes tirarem 0 e estudantes tirarem 10, de modo que a amostra contenha vezes a nota 0 e vezes a nota 10, então a média será ou e . Os valores quadrados são e . A média de é . Portanto, a variância é 100 e o desvio padrão é 10.
Testes experimentais, industriais e de hipóteses
editarNa indústria, o desvio padrão é usado para calcular o índice de fidelidade de um aparelho de medida ou o índice de qualidade de um produto.[81][82] Por exemplo, os pesos dos produtos de uma linha de produção precisam cumprir um valor exigido legalmente. Pesando uma fração dos produtos, é possível calcular o peso médio que sempre será um pouco diferente da média de longo prazo. Usando o desvio padrão, é possível encontrar um valor máximo e um valor mínimo para que o peso médio esteja dentro de uma porcentagem muito alta de tempo (igual ou maior que 99,9%). Se o desvio padrão ficar fora do intervalo, então o processo de produção precisa ser corrigido. Estes testes estatísticos são particularmente importantes quando o teste é relativamente caro.
Na ciência, é comum considerar que os valores são distribuídos de acordo com a curva de Gauss. Nas ciências sociais, a média e o desvio padrão determinam o intervalo em que existe a maioria da população. Se a média for e o desvio padrão for , então 95% da população estará no intervalo e 68,2% da população estará no intervalo .[83]
O desvio padrão também é usado para formar um intervalo de confiança de uma amostra. Na imagem ao lado, há um desvio nos dois lados da média de 68,2% da distribuição, dois desvios , 3 desvios e assim por diante.[84]
Em um exemplo na física de partículas, o padrão 5 sigma é usado para considerar o resultado significativo. O padrão 5 sigma traduz uma chance em 3,5 milhões de uma flutuação aleatória afetar o resultado, o que representa uma probabilidade de erro inferior a 0,00003 % (nível de confiança superior a 99.99997%).[85] Este nível de certeza foi requerido para declarar a primeira detecção de ondas gravitacionais[86][87] e garantir a descoberta de uma partícula consistente com bóson de Higgs em dois experimentos independentes na Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear (CERN).
Em outro exemplo na mecânica quântica, o princípio da incerteza de Heisenberg afirma que o produto dos desvios padrão da posição e o impulso de uma partícula é maior ou igual que a constante de Planck divida por dois .[88]
Finanças
editarEm finanças, o desvio padrão da taxa de retorno de investimento é uma medida da volatilidade do investimento, ou uma medida de risco associada às flutuações de preço de um determinado ativo ou ao risco de uma carteira de ativos.[89] O risco é um fator importante para gerenciar efetivamente uma carteira de investimentos porque ele determina a variação dos retornos sobre ativos e / ou sobre carteiras de ativos e fornece aos investidores uma base matemática para decisões de investimentos (teoria moderna do portfólio). O risco é medido pelo desvio padrão do retorno esperado sobre os preços de acordo com o modelo de precificação de ativos financeiros de Harry Markowitz.[90] Em análise técnica dos preços das ações, o desvio padrão fornece uma estimativa quantificada da incerteza dos retornos futuros.[91] Quanto maior o retorno esperado sobre o investimento, maior o risco.[92] Em outras palavras, investidores devem estimar o retorno esperado e a incerteza de retornos futuros.[91][92]
Seja um investidor que precise escolher entre duas ações. A ação A tem um retorno médio de 10% em 20 anos, com desvio padrão de 20 pontos percentuais. A ação B tem um retorno médio de 12% no mesmo período, com desvio padrão de 30 pontos percentuais. Com base no risco e no retorno, um investidor pode decidir pela ação A pelo retorno médio adicional de 12% não compensar o desvio padrão adicional de 10 pontos percentuais (risco ou incerteza maior sobre o retorno esperado). O investimento inicial da ação B deve ser menor que o investimento inicial da ação A. O retorno da ação B deve ser em média 2% maior que o retorno da ação A. A ação A deve ganhar 10% com 10 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 30% para 10%), cerca de dois terços do retorno dos anos futuros. Quando são considerados possíveis retornos ou possíveis resultados mais extremos no futuro, um investidor deve esperar resultado de até 10% com 60 pontos percentuais para cima ou para baixo (variação de 70% para 50%), que inclui resultados para três desvio padrão a partir do retorno médio (cerca de 99,7% do possível retorno).
Calculando a média aritmética do retorno de um título em um determinado período, obtém–se o retorno esperado do ativo. Subtraindo o retorno esperado do retorno real em cada período, obtém–se a diferença a partir da média. Elevando a diferença em cada período ao quadrado e retirando a média, obtém–se a variância total do retorno do ativo. Quanto maior a variância, maior o risco do título. Encontrando a raiz quadrada da variância, obtém–se o desvio padrão da ferramenta de investimento em questão.[91][92]
Séries temporais financeira são conhecidas por serem séries não estacionárias, enquanto os cálculos estatísticos acima como o desvio padrão aplicam–se apenas às séries estacionárias. Para aplica–los às séries não estacionárias, as séries precisam ser transformadas em séries estacionárias, permitindo o uso de ferramentas estatística que agora possuem uma base válida para trabalhar.
A análise de Bollinger é uma ferramenta que facilita a análise de previsões do mercado. John Bollinger construiu a curva de deslocamento da média para vinte dias e as curvas, de cada lado da curva de deslocamento da média, situadas a duas vezes do desvio padrão dos vinte dias.[93] O desvio padrão populacional é usado para estabelecer a largura das bandas de Bollinger. A banda de Bollinger ao lado é denotada como . O valor mais comumente usado para é 2.[94] Há cerca de 5% de chance de o valor ser diferente, assumindo uma distribuição normal dos retornos.
Tempo
editarSejam as temperaturas máximas médias diárias de duas cidades, uma no continente e outra na costa. O intervalo das temperaturas máximas diárias das cidades perto da costa é menor que as temperaturas máximas diárias das cidades no continente. Portanto, enquanto cada uma das duas cidades podem ter a mesma temperatura máxima média, o desvio padrão da temperatura máxima diária da cidade da costa será muito menor que a temperatura máxima diária da cidade no continente. Em qualquer dia particular, é mais provável que a temperatura máxima real seja mais afastada da temperatura máxima média da cidade no continente que da temperatura máxima média da cidade na costa.
Ver também
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