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Em geometria diferencial, uma variedade complexa é a variedade na qual cada vizinhança apresenta-se como um n-espaço complexo em uma via coerente. Mais precisamente, uma variedade complexa tem um atlas de cartas para o disco unidade aberta[1] em , tais que a mudança de coordenadas entre cartas seja holomórfica.

O termo variedade complexa é variadamente usado para significar uma variedade complexa no sentido acima (o qual pode ser especificado como uma variedade complexa integrável), e uma estrutura quase complexa, como discutida abaixo.

Índice

Implicações da estrutura complexaEditar

Dado que funções analíticas complexas são muito mais rígidas que as funções de classe  , as teorias de variedades   e complexas têm aspectos muito diferentes: variedades complexas compactas são muito mais próximas a variedades algébricas que as variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema da imersão de Whitney nos diz que cada variedade   pode ser imersa como uma subvariedade de R , aonde é "raro" para uma variedade complexa ter uma imersão holomórfica em Cn. Considera-se por exemplo qualquer compacto, variedade complexa conectada  : qualquer função holomórfica sobre ele é constante localmente pelo teorema de Liouville. Agora se nós temos uma imersão holomórfica de M em Cn, então as funções coordenadas de Cn se restringirão às funções holomórficas não-contantes em M, contradizendo a compactação, exceto no caso que M é apenas um ponto. variedades complex que podem ser imersas em Cn são chamadas distribuições de Stein e formam uma classe muito especial de variedades, incluindo, por exemplo, variedades algébricas complexas   refinadas.

A classificação de distribuições complexas é muito mais sutil que a de distribuições diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões outra que não quatro, uma dada distribuição topológica tem mais finitas estruturas  , uma distribuição topológica sustentando uma estrutura complexa pode e frequentemente o faz sustentar incontáveis estruturas complexas. superfícies de Riemann, distribuições bidimensionais munidas com uma estrutura complexa, as quais são topologicamente classificadas pelo gênero, são um importante exemplo deste fenõmeno. O conjunto de estruturas complexas sobre uma dada superfície orientada, equilalência biholomórfica em de módulo, em si forma uma variedade algébrica chamada um espaço de módulos, estrutura a qual é objeto de ativa pesquisa.

Desde que os mapas de transição entre cartas são biholomórficos, distribuições complexas são, em particular,   e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis: um mapa biholomórfico a (um subconjunto de)   dá uma orientação, como mapas biholomórficos são preservantes da orientação).

Exemplos de variedades complexasEditar

Variedades algébricas complexas lisasEditar

Variedades algébricas complexas lisas são estruturas complexas, incluindo:

Similarmente, os quaterniônicos análogos destes são também estruturas complexas.

Simplesmente conectadasEditar

As estruturas simplesmente conectadas 1-dimensionais complexas são:

  •  , o disco unidade em  
  •  , o plano complexo
  •  , a esfera de Riemann

Note-se que há inclusões entre estes como  , mas que não há nenhum mapa não constante na outra direção, pelo teorema de Liouville.

Disco vs. Espaço vs. PolidiscoEditar

Os seguintes espaços são diferentes como estruturas complexas, demonstrando a geometria mais rígida característica característica de estruturas complexas (comparadas a estruturas lisas):

  • o disco unidade ou bola aberta,  
  • espaço complexo  
  • o polidisco  

NotasEditar

  1. Um deve usar o disco unidade aberto em   como o espaço modelo em vez de   porque não são isomórficos, diferentemente de variedades reais.
  2. Isto significa que todos os espaço projetivos complexos são orientáveis, em contraste com o caso real
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