Função diferenciável

Em matemática, uma função diferenciável de uma variável real é uma função cuja derivada existe em cada ponto de seu domínio. Em outras palavras, o gráfico de uma função diferenciável tem uma reta tangente [en] não vertical [en] em cada ponto interior de seu domínio. Uma função diferenciável é suave (a função é bem aproximada localmente como uma função linear em cada ponto interior) e não contém nenhuma quebra, ângulo, ou cúspide [en].

Se $x 0$ é um ponto interior no domínio de uma função $f$ , então $f$ é dita diferenciável em $x 0$ se a derivada $f'(x_{0})$ existe. Em outras palavras, o gráfico de $f$ tem uma reta tangente não vertical no ponto $(x 0, f (x 0))$ . $f$ diz-se diferenciável em $U$ se é diferenciável em cada ponto de $U$ . $f$ diz-se continuamente diferenciável se sua derivada também é uma função contínua sobre o domínio da função ${\textstyle f}$ . De um modo geral, diz-se que $f$ é da classe $C^{k}$ se suas primeiras ${\textstyle k}$ derivadas $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ existem e são contínuas no domínio da função ${\textstyle f}$ .

Para uma função multivariável, como mostrado aqui, a diferenciabilidade dela é algo mais do que a existência das derivadas parciais dela.

Diferenciabilidade de funções reais de uma variável editar

Uma função $f:U\to \mathbb {R}$ , definida em um conjunto aberto ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ , é dita diferenciável em um $a\in U$ se a derivada

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

existe. Isso implica que a função é contínua em $a$ .

Esta função $f$ é dita diferenciável em $U$ se for diferenciável em cada ponto de $U$ . Neste caso, a derivada de $f$ é, portanto, uma função de $U$ em $\mathbb {R}$ .

Uma função contínua não é necessariamente diferenciável, mas uma função diferenciável é necessariamente contínua (em todos os pontos onde é diferenciável) como mostrado abaixo (na seção Diferenciabilidade e continuidade). Diz-se que uma função é continuamente diferenciável se sua derivada também é uma função contínua; existem funções que são diferenciáveis, mas não continuamente diferenciáveis, (um exemplo é dado na seção Classes de diferenciabilidade).

Diferenciabilidade e continuidade editar

A função de valor absoluto é contínua (ou seja, não tem lacunas). É diferenciável em todos os lugares, exceto no ponto

x

= 0, onde faz uma curva fechada ao cruzar o eixo

y

.

Uma cúspide [en] no gráfico de uma função contínua. Em zero, a função é contínua, mas não diferenciável

Se $f$ é diferenciável em um ponto $x 0$ , então $f$ também deve ser contínua em $x 0$ . Em particular, qualquer função diferenciável deve ser contínua em todos os pontos de seu domínio. O inverso não é válido: uma função contínua não precisa ser diferenciável. Por exemplo, uma função com dobra, cúspide [en] ou tangente vertical [en] pode ser contínua, mas não diferenciável no local da anomalia.

A maioria das funções que ocorrem na prática tem derivadas em todos os pontos ou em quase todos [en] os pontos. No entanto, um resultado de Stefan Banach afirma que o conjunto de funções que possuem uma derivada em algum ponto é um conjunto escasso no espaço de todas as funções contínuas.^[1] Informalmente, isso significa que funções diferenciáveis são muito atípicas entre funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar, é a função de Weierstrass.

Classes de diferenciabilidade editar

Funções diferenciáveis podem ser aproximadas localmente por funções lineares

A função

f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

com

f(x)=x^{2}\operatorname {sen} \left({\tfrac {1}{x}}\right)

para

x\neq 0

e

f(0)=0

é diferenciável. No entanto, esta função não é continuamente diferenciável

Uma função ${\textstyle f}$ é dita continuamente diferenciável se a derivada ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ existe e é ela própria uma função contínua. Embora a derivada de uma função diferenciável nunca tenha uma descontinuidade de salto [en], é possível que a derivada tenha uma descontinuidade essencial [en]. Por exemplo, a função

f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\operatorname {sen}(1/x)&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0\end{cases}}

é diferenciável em 0, pois

f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\operatorname {sen}(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0

existe. No entanto, para

x\neq 0

, as regras de diferenciação [en] implicam

f'(x)=2x\operatorname {sen}(1/x)-\cos(1/x)\;,

que não tem limite quando

x\to 0

. Assim, este exemplo mostra a existência de uma função que é diferenciável, mas não continuamente diferenciável (ou seja, a derivada não é uma função contínua). No entanto, o teorema de Darboux implica que a derivada de qualquer função satisfaz a conclusão do teorema do valor intermediário.

Da mesma forma como as funções contínuas são consideradas de classe $C^{0}$ , as funções continuamente diferenciáveis são às vezes consideradas de classe $C^{1}$ . Uma função é de classe $C^{2}$ se a primeira e a segunda derivada da função existem e são contínuas. De forma mais geral, diz-se que uma função é de classe $C^{k}$ se as primeiras $k$ derivadas ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ todas existem e são contínuas. Se as derivadas $f^{(n)}$ existem para todos os inteiros positivos ${\textstyle n}$ , a função é suave ou equivalente, de classe $C^{\infty }$ .

Diferenciabilidade em dimensões superiores editar

Uma função de várias variáveis reais [en] $f : R m \to R n$ é dita diferenciável em um ponto $x 0$ se existe um mapa linear $J : R m \to R n$ tal que

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.

Se uma função é diferenciável em $x 0$ , então todas as derivadas parciais existem em $x 0$ , e o mapa linear $J$ é dado pela matriz jacobiana, uma matriz n × m neste caso. Uma formulação semelhante da derivada de dimensão superior é fornecida pelo lema do incremento fundamental [en] encontrado no cálculo de variável única.

Se todas as derivadas parciais de uma função existem na vizinhança de um ponto $x 0$ e são contínuas no ponto $x 0$ , então a função é diferenciável naquele ponto $x 0$ .

Entretanto, a existência das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direcionais) não garante que uma função seja diferenciável em um ponto. Por exemplo, a função $f : R 2 \to R$ definida por

f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{se }}y\neq x^{2}\\0&{\text{se }}y=x^{2}\end{cases}}

não é diferenciável em $(0, 0)$ , mas todas as derivadas parciais e direcionais existem neste ponto. Para um exemplo contínuo, a função

f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{se }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{se }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

não é diferenciável em $(0, 0)$ , mas novamente todas as derivadas parciais e direcionais existem.

Diferenciabilidade em análise complexa editar

Na análise complexa, a diferenciabilidade complexa é definida usando a mesma definição que as funções reais de variável única. Isso é permitido pela possibilidade de dividir números complexos. Assim, uma função ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ é dita diferenciável em ${\textstyle x=a}$ quando

f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

Embora essa definição pareça semelhante à diferenciabilidade de funções reais de variável única, é, no entanto, uma condição mais restritiva. Uma função ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ , que é diferenciável complexa em um ponto ${\textstyle x=a}$ é automaticamente diferenciável nesse ponto, quando vista como uma função $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ . Isso ocorre porque a diferenciabilidade complexa implica que

\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.

No entanto, uma função ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ pode ser diferenciável como uma função multivariável, embora não seja diferenciável complexa. Por exemplo, $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ é diferenciável em cada ponto, visto como a função real bivariável $f(x,y)=x$ , mas não é diferenciável em nenhum ponto porque o limite ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$ não existe (por exemplo, isso depende do ângulo de aproximação).

Qualquer função que é complexamente diferenciável na vizinhança de um ponto é chamada de holomorfa naquele ponto. Tal função é necessariamente infinitamente diferenciável e, de fato, analítica.

Funções diferenciáveis em variedades editar

Se M é uma variedade diferenciável, uma função real ou de valor complexo f em M é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de p. Se M e N são variedades diferenciáveis, uma função f: M → N é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de p e f(p).

Ver também editar

Generalizações da derivada [en]
Programação diferenciável [en]
Semidiferenciabilidade [en]

Referências editar

↑ Banach, S. (1931). «Über die Baire'sche kategorie gewisser funktionenmengen». Studia mathematica. 3 (1): 174 – 179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179 . Citado por Hewitt, E.; Stromberg, K. (1963). Real and abstract analysis (em inglês). [S.l.]: Springer-Verlag. Theorem 17.8

[1] Banach, S. (1931). «Über die Baire'sche kategorie gewisser funktionenmengen». Studia mathematica. 3 (1): 174 – 179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179 . Citado por Hewitt, E.; Stromberg, K. (1963). Real and abstract analysis (em inglês). [S.l.]: Springer-Verlag. Theorem 17.8

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