Atlas (topologia)

Em topologia, um atlas é um conjunto de cartas da mesma variedade, em que a variedade é a união das imagens das cartas.

Existem várias definições equivalentes para um atlas, mas a ideia subjacente é que, dado um espaço M (que pode, ou não, ser um espaço topológico ou apenas um conjunto) que se deseja estudar, e um espaço topológico E (E normalmente tem uma estrutura mais rica que a topologia, por exemplo, E = Rⁿ), um atlas é uma coleção de funções bijetivas $\phi _{i}:U_{i}\to V_{i}\,$, em que i percorre um conjunto de índices, satisfazendo:

• Os U_i são abertos de E
• Todos V_i cobrem M
• Se, para i ≠ j, os conjuntos V_i e V_j tem uma interseção não-vazia W, então as funções φ_i e φ_j, quando restritas às imagens inversas de W, devem satisfazer determinadas propriedades

Estas propriedades dependem da estrutura que se deseja impor à variedade M. No caso mais básico, de M ser uma variedade topológica, a composição φ_j^-1 o φ_i, quando restrita a φ_i^-1(W), deve ser um homeomorfismo. Esta função equivale a "subir" de E para M via φ_i e, em seguida, "descer" para E via φ_j.

No caso mais geral, outras propriedades podem ser impostas a esta função, por exemplo, se E for Rⁿ, pode-se impor que esta função seja diferenciável, infinitamente diferenciável, ou analítica.

Quando M já tem, a priori, uma topologia, é requerido que as funções φ_i sejam homeomorfismos; caso contrário, a topologia de M é aquela gerada pela base φ_i(A), sendo A cada aberto de U_i.