Círculo unitário

Na matemática, um círculo unitário, círculo trigonométrico ou círculo goniométrico é um círculo com um raio de um. Frequentemente, especialmente em trigonometria, o círculo unitário é o círculo de raio centrado na origem do plano cartesiano, (0, 0). A generalização em dimensões superiores é a esfera unitária.

Trigonometria

História Funções Funções inversas Aprofundamento

Referência

Lista de identidades CORDIC

Teoria euclidiana

Lei dos senos Lei dos cossenos Lei das tangentes Teorema de Pitágoras

Cálculo

Integração trigonométrica Substituição trigonométrica Integrais de funções Diferenciação trigonométrica

Imagem do círculo unitário. A variável t é uma medida de ângulo.

Se (x, y) é um ponto na circunferência do círculo unitário, então |x| e|y| são os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 1. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, x e y satisfazem a equação:

$x^{2}+y^{2}=1.$

Dado que x² = (−x)² para todo x, e uma vez que a reflexão de qualquer ponto no círculo unitário sobre o eixo x ou y é também sobre o círculo unitário, a equação acima é válida para todos os pontos (x, y) no círculo unitário, não apenas para aqueles no primeiro quadrante.

O interior do círculo unitário é chamado de disco unitário aberto, enquanto o interior do círculo unitário combinado com o próprio círculo unitário é chamado de disco unitário fechado.

Animação do ato de desenrolamento da circunferência de um círculo unitário, um círculo de raio 1. Dado C = 2πr, a circunferência de um círculo unitário é 2π.

No plano complexo

O círculo unitário pode ser considerado como a unidade dos números complexos, ou seja, o conjunto de números complexos z da forma

$z=\,\mathrm {e} ^{it}\,=\cos(t)+i\sin(t)\,$

para todo t. Esta relação é a Fórmula de Euler. Em Mecânica quântica, isto é referido como o fator de fase.

Funções trigonométricas no círculo unitário

Função seno no círculo unitário (em cima) e seu gráfico (em baixo)

As funções trigonométricas de seno, cosseno e tangente do ângulo θ podem ser definidas no círculo unitário da seguinte forma: Se (x, y) é um ponto no círculo unitário, e, se o raio a partir da origem (0, 0) para (x, y) faz um ângulo t em relação ao eixo x positivo (sentido anti-horário é positivo), então

${\begin{array}{rcl}x&=&\cos \theta \\y&=&\sin \theta \end{array}}$

A partir do círculo unitário é possível deduzir várias identidades trigonométricas.

Representação das funções trigonométricas no círculo unitário..

A equação x² + y² = 1 dá a relação

$\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1.\,\!$

O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades

$\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )\,\!$

$\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )\,\!$

para qualquer número inteiro k.

Triângulos construídos no círculo unitário podem também ser usados para ilustrar a periodicidade das funções trigonométricas. Primeiro, constrói-se um raio OA a partir da origem para um ponto P(x₁,y₁) sobre o círculo unitário de tal modo que um ângulo t with 0 < t < π/2 é formado sobre o lado positivo do eixo x. Agora, considere um ponto Q(x₁,0) e um segmento de linha PQ $\perp$ OQ. O resultado é um triângulo retângulo ΔOPQ com ∠QOP = t. Porque PQ tem comprimento y₁, OQ comprimento x₁, e OA um comprimento 1, sen (t) = y₁ e cos (t) = x₁. Estabelecidas essas equivalências, pegue outro raio OR a partir da origem para um ponto R(−x₁,y₁) no círculo de tal modo que o mesmo ângulo t é formado com o lado negativo do eixo x. Agora, considere um ponto S(−x₁,0) e una os segmentos RS $\perp$ OS. O resultado é um triângulo retângulo com ΔORS ∠SOR = t. Pode, portanto, ser visto que, por causa ∠ROQ = π-t, em que R é (cos (π-t), sen (π-t)) da mesma maneira que P é a (cos (t), sen (t )). A conclusão é que, uma vez que (X1, Y1) é o mesmo que (cos (π-t), sen (π-t)) e (x1, y1) é o mesmo que (cos (t) sen (t, )), é verdade que sen (t) = sin (π-t) e -cos (t) = cos (π-t). Pode-se inferir de uma maneira semelhante que tan (π-t) = -tan (t), uma vez que tan (t) = y1 / x1 e tan (π-t) = y1 / (- x1). Uma simples demonstração do acima pode ser visto na igualdade seno(π/4) = seno (3π / 4) = ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$

O círculo unitário, mostrando as coordenadas em alguns pontos.

Ver também

• Ângulo
• Cubo unitário
• Função trigonométrica
• Identidade trigonométrica

Referências

2. Weisstein, Eric W. «Unit circle» (em inglês). MathWorld