Diferenciação de funções trigonométricas

A diferenciação de funções trigonométricas é o processo matemático de encontrar a taxa na qual a função trigonométrica varia em relação a uma variável, isto é, a derivada da função trigonométrica. Funções comuns incluen sin(x), cos(x) e tan(x). Por exemplo, na diferenciação de f(x) = sin(x), calculamos a função f ′(x), que é a taxa de variação de sin(x) num certo ponto a. O valor da taxa de variação em a é portando dada por f ′(a).

Trigonometria

História Funções Funções inversas Aprofundamento

Referência

Lista de identidades CORDIC

Teoria euclidiana

Lei dos senos Lei dos cossenos Lei das tangentes Teorema de Pitágoras

Cálculo

Integração trigonométrica Substituição trigonométrica Integrais de funções Diferenciação trigonométrica

Função	Derivada
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$

Para calcular as derivadas de funções trigonométricas, é necessário ter conhecimento básico de diferenciação, além de conhecimento no uso de identidades trigonométricas e limites. Todas funções envolvem a variável arbitrária x, com todas diferenciações realizadas em relação a x.

Ao encontrarmos as derivadas das funções sin(x) e cos(x), podemos calcular as derivadas das outras funções trigonométricas com facilidade, devido ao fato delas poderem ser expressas em termos de seno e cosseno; a regra do quociente é utilizada para o cálculo de tais derivadas. As provas das derivadas das funções sin(x) e cos(x) são dadas na seção de provas. Encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas envolve diferenciação implícita e as derivadas das funções trigonométricas regulares, que são dadas na seção de provas.

Derivadas das funções trigonométricas e suas inversas

$\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)$

$\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)$

$\left(\tan(x)\right)'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)$

$\left(\cot(x)\right)'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)$

$\left(\sec(x)\right)'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)$

$\left(\csc(x)\right)'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)$

$\left(\arcsin(x)\right)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\left(\arccos(x)\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\left(\arctan(x)\right)'={\frac {1}{x^{2}+1}}$

Provas das derivadas das funções seno e coseno

Limite de sin(θ)/θ para θ → 1

Considere a circunferência unitária exibida na imagem. Assuma que o ângulo θ, feito pelos raios OB e OC seja pequeno, e.g. menor que π/2 radianos, i.e. 90°. Seja T₁ o triângulo com vértices O, B e C. Seja S o setor circular dado pelos raios OB e OC (i.e. a "fatia" dada cortando-se ao longo das retas OB e OC). Seja T₂ o triângulo com vértices O, B e D. Claramente, a área de T₁ é menor que a área de S, que por sua vez é menor que a área de T₂, i.e. área(T₁) < área(S) < área(T₂). A área do triângulo é dada pela metade do produto entre sua base e sua altura. Usando u para denotar a unidade de medida utilizada, encontramos que a área de T₁ é exatamente 1⁄2 × ||OB|| × ||CA|| = 1⁄2 × 1 × sin(θ) = 1⁄2·sin(θ) u². A área do setor circular S é exatamente 1⁄2·θ u². Finalmente, a área do triângulo T₂ é exatamente 1⁄2 × ||OB|| × ||BD|| = 1⁄2·tan(θ) u².

Como área(T₁) < área(S) < área(T₂) encontramos que, para um θ pequeno,

${\frac {1}{2}}\sin \theta <{\frac {1}{2}}\theta <{\frac {1}{2}}\tan \theta \,.$

(Lembre-se que tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).) Se isto é verdade, então multiplicando por 2 temos sin(θ) < θ < tan(θ). Invertendo os termos, também invertemos as desigualdades, e.g. 2 < 3 enquanto 1⁄2 > 1⁄3. Segue-se que

${\frac {1}{\sin \theta }}>{\frac {1}{\theta }}>{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\,.$

Como θ é pequeno, e portanto menor que π/2 radianos, i.e. 90°, segue-se que sin(θ) > 0. Podemos multiplicar ambos lados por sin(θ), que é positivo, sem alterar a desigualdade; portanto:

$1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.$

Isto nos diz que para um θ muito pequeno, sin(θ)/θ é menor que um, mas maior que cos(θ). Porém, com θ diminuindo, cos(θ) cresce e se aproxima de 1 (see the cosine graph). A desigualdade nos diz que sin(θ)/θ é sempre menor que 1 e maior que cos(θ); mas conforme 'θ diminui, cos(θ) se aproxima de 1. Portanto, sin(θ)/θ é "esmagado" (ver teorema do confronto por 1 e cos(θ) quando θ decresce. Isto faz com que sin(θ)/θ se aproxime a 1.

Limite de [cos(θ) – 1]/θ para θ → 0

Esta última seção nos permite calcular este novo limite com facilidade. Sabemos que

$\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\right]=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos ^{2}\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}}\right).$

A identidade sin²θ + cos²θ = 1 nos diz que cos²θ – 1 = –sin²θ. Usando isto, o fato de o limite do produto ser o produto do limite, e o resultado da última seção, encontramos

$\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin \theta }{\theta }}\right)\times \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\times {\frac {0}{2}}=0\,.$

Derivada da função seno

Para calcular a derivada da função seno, sin(θ), usamos princípios básicos de derivação. Por definição:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}\right).$

Usando a conhecida fórmula sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) e os limites calculados acima, encontramos que

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta \right)+\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(1\times \cos \theta )+(0\times \sin \theta )=\cos \theta \,.$

Derivada da função coseno

Para calcular a derivada da função cosseno, cos(θ) usamos princípios básicos de diferenciação. Por definição:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}\right).$

Usando a conhecida fórmula cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) e os dois limites calculados acima, encontramos que

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \right)-\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(0\times \cos \theta )-(1\times \sin \theta )=-\sin \theta \,.$

Provas das derivadas das funções trigonométricas inversas

Nas provas abaixo, igualamos y a função trigonométrica inversa que queremos derivar. Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx, a derivada da função inversa é encontrada em termos de y. Para converter dy/dx de volta em termos de x, podemos desenhar um triângulo de referência na circunferência unitária, igualando θ a y. Usando o teorema de Pitágoras e as definições das funções básicas trigonométricas, podemos finalmente expressar dy/dx em termos de x.

Diferenciando a inversa da função seno

Fazemos

$y=\arcsin x\,\!$

Onde

$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$

Então

$\sin y=x\,\!$

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\cos y=1\,\!$

Substituindo $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ acima,

${dy \over dx}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}=1$

Substituindo $x=\sin y$ acima,

${dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Diferenciando a inversa da função cosseno

Fazemos

$y=\arccos x\,\!$

Onde

$0\leq y\leq \pi$

Então

$\cos y=x\,\!$

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-{dy \over dx}\sin y=1$

Substituindo $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$ acima, temos

$-{dy \over dx}{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}=1$

Substituindo $x=\cos y\,\!$ acima, temos

$-{dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1$

${dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Diferenciando a função tangente inversa

Fazemos

$y=\arctan x\,\!$

Onde

$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$

Então

$\tan y=x\,\!$

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\sec ^{2}y=1$

Derivando e substituindo em $1+\tan ^{2}y=\sec ^{2}y\,\!$ dada a expressão acima,

${dy \over dx}(1+\tan ^{2}y)=1$

Substituindo $x=\tan y\,\!$ acima,

${dy \over dx}(1+x^{2})=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Ver também

• Trigonometria
• Cálculo
• Derivada

Bibliografia

• Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).