Constantes trigonométricas exatas

Expressões algébricas exatas para valores trigonométricos são algumas vezes úteis, principalmente por simplificar soluções em formas de raízes que permitem uma maior simplificação.

Os ângulos que apresentam soluções primárias no círculo unitário estão em múltiplos de 30 e 45 graus.

Todos os valores dos senos, cossenos e tangentes de ângulos em incrementos de 3° são deriváveis em radiciações usando-se identidades — a identidade de meio ângulo, a identidade de dobro de ângulo e a identidade de adição e subtração de ângulos — e usando-se valores para 0°, 30°, 36° e 45°. Note-se que 1° = π/180 radianos.

De acordo com o teorema de Niven, os únicos valores racionais da função seno para o qual o argumento é um número racional de graus são  0, 1/2,  1, -1/2, e -1.

Número de Fermat

A lista neste artigo é incompleta em pelo menos dois sentidos. Primeiro, sempre é possível aplicar a fórmula ao semi-ângulo para encontrar uma expressão exata para o cosseno de uma metade de qualquer ângulo na lista, e em seguida, a metade desse ângulo, etc. Em segundo lugar, este artigo explora apenas o primeiro dois dos cinco números primos de Fermat conhecidos: 3 e 5, enquanto também existem expressões algébricas para as funções de 2π/17, 2π/257 e 2π/65537. Na prática, todos os valores de senos, cossenos e tangentes não encontradas neste artigo são aproximadas utilizando as técnicas descritas no artigo tabelas trigonométricas.

Referências

• Weisstein, Eric W. «Constructible polygon» (em inglês). MathWorld 
• Weisstein, Eric W. «Trigonometry angles» (em inglês). MathWorld 
  • π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
  • π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
  • π/5 (36°) — π/10 (18°) — π/20 (9°)
  • π/7 — π/14
  • π/9 (20°) — π/18 (10°)
  • π/11
  • π/13
  • π/15 (12°) — π/30 (6°)
  • π/17
  • π/19
  • π/23
• Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). «Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of zeta(3)/pi^3». Int. J. Quantum Chemistry. 90 (1): 42–53. doi:10.1002/qua.1803 
• Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1998). «On angles whose squared trigonometric functions are rational». arXiv:math-ph/9812019 
• Conway, John H.; Radin, Charles; Radun, Lorenzo (1999). «On angles whose squared trigonometric functions are rational». Disc. and Comp. Geom. 22 (3): 321–332. MR 1706614. doi:10.1007/PL00009463 
• Girstmair, Kurt (1997). «Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n». Acta Arithmetica. 81: 387–398. MR 1472818 
• Gurak, S. (2006). «On the minimal polynomial of gauss periods for prime powers». Mathematics of Computation. 75 (256): 2021–2035. Bibcode:2006MaCom..75.2021G. MR 2240647. doi:10.1090/S0025-5718-06-01885-0 
• Servi, L. D. (2003). «Nested square roots of 2». Am. Math. Monthly. 110 (4): 326–330. JSTOR 3647881. MR 1984573. doi:10.2307/3647881