Difusão de Itō

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Em matemática, especificamente em análise estocástica, uma difusão de Itō é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica. Esta equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula sujeita a um potencial em um fluido viscoso. As difusões de Itō recebem este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō.[1]

Visão geral

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Este processo de Wiener (movimento browniano) em um espaço tridimensional (com um caminho amostral exibido) é um exemplo de difusão de Itō.

Uma difusão de Itō homogênea em tempo em um espaço euclidiano de   dimensões   é um processo   definido em um espaço de probabilidade   e que satisfaz uma equação diferencial estocástica da forma:

 

em que   é um movimento browniano de   dimensões e   e   satisfazem a condição de continuidade de Lipschitz usual:

 

para alguma constante   e todo  .[2] Esta condição garante a existência de uma única solução forte   à equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial   é conhecido como coeficiente de deriva de  . O campo tensorial   é conhecido como o coeficiente de difusão de  . É importante notar que   e   não dependem do tempo. Se dependessem do tempo,   seria apenas considerado um processo de Itō, não uma difusão. Difusões de Itō têm uma série de propriedades importantes, que incluem:

Em particular, uma difusão de Itō é um processo contínuo e fortemente markoviano de tal modo que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções dupla e continuamente diferenciáveis, sendo uma difusão no sentido definido pelo matemático soviético-americano Eugene Dynkin.

Continuidade

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Continuidade amostral

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Um difusão de Itō   é um processo contínuo amostral, isto é, para quase todas as realizações   do ruído,   é uma função contínua do parâmetro de tempo  . Mais precisamente, há uma "versão contínua" de  , um processo contínuo   tal que:

 

Isto se segue da existência padrão e da teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.[3]

Continuidade de Feller

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Além de ser contínua e amostral, uma difusão de Itō   satisfaz o requisito mais forte da continuidade de Feller.

Para um ponto  , considere que P  denota a lei de  , sendo o dado inicial  , e considere que  denota o valor esperado em relação a P .

Considere que   é uma função mensurável de Borel limitada abaixo e defina, para   fixo,   por:

 

  • Semicontinuidade inferior: se   for semicontínua inferior, então,   é semicontínua inferior.
  • Continuidade de Feller: se   for limitada e contínua, então,   é contínua.

O comportamento da função   acima quando o tempo   é variado foi abordado pela equação regressiva de Kolmogorov, pela equação de Fokker–Planck, entre outras.[4]

Propriedade de Markov

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Propriedade de Markov

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Uma difusão de Itō tem a importante propriedade de ser markoviana: o futuro comportamento de  , dado o que aconteceu até o tempo  , é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição   no tempo 0. A formulação matemática precisa desta afirmação exige alguma notação adicional.

Considere que   denota a filtração natural de   gerada pela movimento browniano  . Para  ,

 

É fácil mostrar que   é adaptada a   (isto é, que cada   é  -mensurável), de modo que a filtração natural   de   gerada por   tem   para cada  . Considere que   é uma função limitada e mensurável de Borel. Então, para todo   e  , o valor esperado condicional condicionado na σ-álgebra   e o valor esperado do processo "reiniciado" a partir de   satisfazem a propriedade de Markov:

 

De fato,   é também um processo de Markov no que se refere à filtração  , como mostra o que segue:

 [5]

Propriedade forte de Markov

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A propriedade forte de Markov é uma generalização da propriedade de Markov acima em que   é substituído por um tempo aleatório adequado   conhecido como tempo de parada. Então, por exemplo, em vez de "reiniciar" o processo   no tempo  , pode-se "reiniciar" quando quer que   alcance pela primeira vez algum ponto especificado   de  .

Como antes, considere   uma função limitada e mensurável de Borel. Considere   um tempo de parada no que se refere à filtração   com   quase certamente. Então, para todo  ,

 [4]

Gerador

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Definição

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Associado a cada difusão de Itō, há um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como o gerador de difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informação sobre o processo  . Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão de Itō   é o operador  , que é definido como agindo em funções adequadas   por:

 

O conjunto de todas as funções   para as quais este limite existe em um ponto   é denotado como  , enquanto   denota o conjunto de todas as   para as quaIS o limite existe para todo  . Pode-se mostrar que qualquer função   compactamente suportada   (duplamente diferenciável com segunda derivada contínua) repousa em   e que:

 

ou, em termos de gradiente, escalar e produto interno de Frobenius,

 [3]

Exemplo

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O gerador   para o movimento browniano   padrão de   dimensões, que satisfaz a equação diferencial estocástica  , é dado por

 

isto é,  , em que   denota o operador de Laplace.

Equações de Kolmogorov e de Fokker–Planck

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O gerador é usado na formulação da equação regressiva de Kolmogorov. Intuitivamente, esta equação diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de   evolui no tempo: ele deve resolver uma certa equação diferencial parcial em que o tempo   e a posição inicial   são variáveis independentes. Mais precisamente, se   tiver suporte compacto e   for definida por:

 

então,   é diferenciável no que diz respeito a   para todo   e   satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como equação regressiva de Kolmogorov:

 

A equação de Fokker–Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov) é, em algum sentido, a "adjunta" da equação regressiva e diz como as funções densidade de probabilidade de   evoluem com o tempo  . Considere que   é a densidade de   no que diz respeito à medida de Lebesgue em  , isto é, para qualquer conjunto mensurável de Borel  :

 

Considere que   denota o adjunto hermitiano de   (no que diz respeito ao produto interno L2). Então, dado que a posição inicial   tem a densidade prescrita  ,   é diferenciável no que diz respeito a  ,   para todo   e   satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como a equação de Fokker–Planck:

 [6]

Fórmula de Feynman–Kac

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 Ver artigo principal: Fórmula de Feynman–Kac

A fórmula de Feynman–Kac é uma generalização útil da equação regressiva de Kolmogorov. Novamente,   está em   e tem suporte compacto e assume-se que   é uma função contínua que é limitada abaixo. Define-se uma função   por:

 

A fórmula de Feynman–Kac afirma que   satisfaz a equação diferencial parcial:

 

Além disso, se   for   em tempo,   em espaço, limitada como   para todo   compacto e satisfizer a equação diferencial parcial acima, então,   deve ser   como definida acima.

A equação regressiva de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman–Kac em que   para todo  .[3]

Operador característico

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Definição

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O operador característico de uma difusão de Itō   é um operador diferencial parcial intimamente relacionado com o gerador, mas de certa forma mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo na solução do problema de Dirichlet.

O operador característico   de uma difusão de Itō   é definido por:

 

em que os conjuntos   formam uma sequência de conjuntos abertos   que decrescem ao ponto   no sentido em que:

 

e

 

é o primeiro tempo de saída a partir de   para  .   denota o conjunto de todas as   para as quais este limite existe para todo   e todas as sequências  . Se   para todos os conjuntos abertos   contendo  , define-se:

 [4]

Relação com o gerador

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O operador característico e o gerador infinitesimal estão muito intimamente relacionados e até mesmo concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que:

 

e que

 

Em particular, o gerador e o operador característico concordam para todas as funções     e nesse caso:

 

Aplicação do movimento browniano em uma variedade de Riemann

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O operador característico de um movimento browniano é uma vez e meia o operador de Laplace-Beltrami. Aqui está o operador de Laplace-Beltrami em uma esfera bimensional.

Acima, o gerador (e assim o operador característico) do movimento browniano em   foi calculado como sendo  , em que   denota o operador de Laplace. O operador característico é útil ao definir o movimento browniano em uma variedade de Riemann   de   dimensões: um movimento browniano em   é definido como sendo uma difusão em   cujo operador característico   em coordenadas locais  ,  , é dado por  , em que   é operador de Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por:

 

em que   no sentido do inverso da matriz quadrada.[7]

Operador resolvente

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Em geral, o gerador   de uma difusão de Itō   não é um operador limitado. Entretanto, se um múltiplo positivo do operador identidade   for subtraído a partir de  , então, o operador resultante é invertível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio   usando o operador resolvente.

Para  , o operador resolvente  , agindo em funções limitadas, contínuas  , é definido como:

 

Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão  , que   é ele mesmo uma função limitada, contínua. Também,   e   são operadores mutuamente inversos:

  • Se   for   com suporte compacto, então, para todo  ,

 

  • Se   for limitada e contínua, então,   repousa em  , para todo  ,

 [3]

Medidas invariantes

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Algumas vezes, é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itō  , isto é, uma medida em   que não muda sob o "fluxo" de  , ou seja, se   for distribuída de acordo com tal medida invariante  , então,   é também distribuída de acordo com   para qualquer  . A equação de Fokker–Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se tiver uma função densidade de probabilidade  : se   for de fato distribuída de acordo com uma medida invariante   com densidade  , então, a densidade   de   não muda com  , de modo que  , e então   deve resolver a equação diferencial parcial (independente de tempo):

 

Isto ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo das equações diferenciais parciais. Reciprocamente, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma   pode ser difícil de resolver diretamente, mas se   para alguma difusão de Itō   e uma medida invariante para   for fácil de computar, então, a densidade daquela medida oferece uma solução para a equação diferencial parcial.

Medidas invariantes para fluxos de gradiente

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Uma medida invariante é comparativamente fácil de computar quando o processo   é um fluxo de gradiente estocástico de forma:

 

em que   desempenha o papel de uma temperatura inversa e   é um potencial escalar que satisfaz a suavidade adequada e as condições de crescimento. Neste caso, a equação de Fokker–Planck tem uma única solução estacionária   (isto é,   tem uma única medida invariante   com densidade  ) e é dada pela distribuição de Gibbs:

 

em que a função de partição   é dada por:

 

Além disso, a densidade   satisfaz um princípio variacional: isto minimiza sobre todas as densidades de probabilidade   em  a energia livre funcional   dada por:

 

em que

 

desempenha o papel de uma energia funcional e

 

é a negativa da funcional de entropia de Gibbs–Boltzmann. Mesmo quando o potencial   não é bem comportado o bastante para a função de partição   e a medida de Gibbs   a serem definidas, a energia livre   ainda faz sentido para cada tempo  , desde que a condição inicial tenha  . A energia livre funcional   é, na verdade, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker–Planck:   pode decrescer conforme   aumenta. Assim,   é uma função H para a dinâmica X.[8]

Exemplo

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Considere o processo Ornstein–Uhlenbeck   em   que satisfaz a equação diferencial estocástica:

 

em que   e   são constantes dadas. Neste caso, o potencial   é dado por:

 

e, então, a medida invariante para   é uma medida gaussiana com densidade   dada por:

 

Heuristicamente, para um   grande,   é aproximadamente normalmente distribuída com média   e variância  . A expressão para a variância pode ser interpretada como se segue: grandes valores de   significam que o poço de potencial   tem "lados muito íngremes", de modo que é improvável que   se mova para longe do mínimo de   em  ; de forma semelhante, grandes valores de   significam que o sistema é muito "frio" com pouco ruído, de modo que, novamente, é improvável que   se mova para longe de  .

Propriedade martingale

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Em geral, uma difusão de Itō não é um martingale. Entretanto, para qualquer   com suporte compacto, o processo   definido por:

 

em que   é o gerador de  , é um martingale no que diz respeito à filtração natural   de   por  . A prova é simples: segue-se da expressão usual da ação do gerador em funções   suficientemente suaves e do lema de Itō (a regra da cadeia estocástica) que:

 

Já que as integrais de Itō são martingales no que diz respeito à filtração natural   de   por  , para  ,

 

Assim, como exigido,

 

já que   é  -mensurável.

Fórmula de Dynkin

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 Ver artigo principal: Fórmula de Dynkin

A fórmula de Dynkin, que recebe este nome em homenagem ao matemático russo-americano Eugene Dynkin, dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō   (com gerador  ) em um tempo de parada. Precisamente, se   for um tempo de parada com   e se   for   com suporte compacto, então:

 

A fórmula de Dynkin pode ser usada para calcular muitas estatísticas úteis de tempos de parada. Por exemplo, o movimento browniano canônico na reta real começando em 0 sai do intervalo   em um tempo aleatório   com valor esperado:

 

A fórmula de Dynkin oferece informação sobre o comportamento de   em um tempo de parada razoavelmente geral. Para mais informações sobre a distribuição de   em um tempo de chegada, pode-se estudar a medida harmônica do processo.[9]

Medidas associadas

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Medida harmônica

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Em muitas situações, é suficiente saber quando uma difusão de Itō   deixará pela primeira vez um conjunto mensurável  , isto é, estudar o primeiro tempo de saída:

 

Algumas vezes, entretanto, pode-se querer saber a distribuição dos pontos nos quais   deixa o conjunto. Por exemplo, o movimento browniano canônico   na reta real começando em 0 deixa o intervalo   em -1 com probabilidade   e em 1 com probabilidade  , de modo que   é uniformemente distribuído no conjunto   Em geral, se   for compactamente encaixado em  , então, a medida harmônica (ou distribuição de chegada) de   na fronteira   de   é a medida   definida por:

 

para   e  .

Retornando ao exemplo anterior do movimento browniano, pode-se mostrar que, se   for um movimento browniano em   começando em   e   for uma bola aberta centrada em  , então, a medida harmônica de   em   é invariante sob todas as rotações de   sobre   e coincide com a medida de superfície normalizada em  .

A medida harmônica satisfaz uma interessante propriedade de valor médio: se   for qualquer função limitada e mensurável de Borel e   for dado por:

 

então, para todos os conjuntos de Borel   e todo  ,

 

A propriedade de valor médio é muito útil na solução de equações diferenciais parciais usando processos estocásticos.[10]

Medida de Green e fórmula de Green

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Considere   um operador diferencial parcial em um domínio   e considere   uma difusão de Itō com   como seu gerador. Intuitivamente, a medida de Green de um conjunto de Borel   é o comprimento esperado do tempo em que   permanece em   antes de deixar o domínio  . Em outras palavras, a medida de Green de   no que diz respeito a   em  , denotada  , é definida para conjuntos de Borel   por:

 

ou para funções limitadas, contínuas  , por:

 

A nome "medida de Green" vem do fato de que, se   for um movimento browniano, então:

 

em que   é a função de Green para o operador   no domínio  . Suponha que   para todo  . Então, a fórmula de Green se aplica para toda   com suporte compacto:

 

Em particular, se o suporte de   for compactamente encaixado em  ,

 [1][4]

Referências

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  1. a b Itô, Kiyosi; McKean, Henry P. Jr (5 de janeiro de 1996). Diffusion Processes and their Sample Paths: Reprint of the 1974 Edition (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540606291 
  2. Øksendal, Bernt (1 de abril de 1990). «When is a stochastic integral a time change of a diffusion?». Journal of Theoretical Probability (em inglês). 3 (2): 207–226. ISSN 0894-9840. doi:10.1007/BF01045159 
  3. a b c d Kannan, D.; Lakshmikantham, V. (23 de outubro de 2001). Handbook of Stochastic Analysis and Applications (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 9780824706609 
  4. a b c d Oksendal, Bernt (9 de março de 2013). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662130506 
  5. Hirsa, Ali; Neftci, Salih N. (18 de dezembro de 2013). An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives (em inglês). [S.l.]: Academic Press. ISBN 9780123846839 
  6. Fuchs, Christiane (18 de janeiro de 2013). Inference for Diffusion Processes: With Applications in Life Sciences (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642259692 
  7. Sakai, Takashi (1 de janeiro de 1996). Riemannian Geometry (em inglês). [S.l.]: American Mathematical Soc. ISBN 9780821889565 
  8. Klebaner, Fima C. (21 de março de 2012). Introduction to Stochastic Calculus with Applications (em inglês). [S.l.]: World Scientific Publishing Company. ISBN 9781911298670 
  9. Dynkin, Evgenij Borisovic (6 de dezembro de 2012). Markov Processes (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662000311 
  10. Kisielewicz, Michał (12 de junho de 2013). Stochastic Differential Inclusions and Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9781461467564