Operador linear limitado

Em matemática e, em especial, em análise funcional um operador linear limitado é uma transformação linear $T:X\longrightarrow Y$ entre espaços vetoriais topológicos $X$ e $Y$ que aplica subconjuntos limitados de $X$ em subconjuntos limitados de $Y$. Em particular, se $X$ e $Y$ são espaços normados, então $T$ é limitado se, e somente se, existe $M>0$ tal que

$\|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.$

Em espaços vetoriais normados

Seja $T:X\to Y\,$ uma transformação linear entre espaços normados $X$ e $Y$ . Então $T$ é um operador linear limitado se existe $M>0$ tal que

$\|Tx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X},\ \forall x\in X.$

Denotamos por ${\mathcal {L}}(X,Y)$ o espaço vetorial de todos os operadores lineares limitados de $X$ em $Y$. Define-se a norma de um operador linear limitado por

$\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}:=\sup _{\stackrel {x\in X}{x\neq 0}}{\frac {\|Tx\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}.$

Pode-se provar que se $T\in {\mathcal {L}}(X,Y)$, então

$\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|\leq 10}}\|Tx\|_{Y}=\sup _{\stackrel {x\in X}{\|x\|=1}}\|Tx\|_{Y}.$

Proposição — Seja $T:X\longrightarrow Y$ um operador linear entre espaços normados. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. $T$ é limitada.
2. $T$ é uniformemente contínuo.
3. $T$ é contínuo na origem.

Prova

($1\Rightarrow 2$) Dado $\varepsilon >0$, se $x,y\in X$, então

$\|Tx-Ty\|_{Y}=\|T(x-y)\|_{Y}\leq M\|x-y\|_{X}.$

Portanto, basta tomar $\delta <{\frac {\varepsilon }{M}}$ que temos a continuidade uniforme.

($2\Rightarrow 3$) É óbvio.

($3\Rightarrow 1$) Como $T$ é contínuo na origem, existe $\delta >0$ tal que

$\|Tx\|_{Y}<1,$ sempre que $\|x\|_{X}<\delta .$

Com isso, dado $x\neq 0$, tome $y={\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta$. Assim, $\|y\|_{X}<\delta /2$ e consequentemente

$\|Ty\|_{Y}<1\Rightarrow \left\|T\left({\frac {x}{2\|x\|_{X}}}\delta \right)\right\|_{Y}<1\Rightarrow {\frac {\delta }{2\|x\|_{X}}}\|Tx\|_{Y}<1.$

Donde, $\|Tx\|_{Y}<{\frac {2}{\delta }}\|x\|_{X}.$ Logo, $T$ satisfaz a definição de limitado com a constante $M=2/\delta .$

Por causa deste resultado, usamos a nomenclatura operador linear limitado e operador linear contínuo indistintamente.

Propriedades

• Se $X$ é um espaço normado e $Y$ é um espaço de Banach, então ${\mathcal {L}}(X,Y)$ também é um espaço de Banach.

• ${\mathcal {L}}(X,\mathbb {R} )$ é chamado de dual topológico de $X$ e é denotado simplesmente por $X^{\ast }.$

• Dados $x^{\ast }\in X^{\ast }$ e $x\in X$, constuma-se usar a notação $\langle x^{\ast },x\rangle _{X^{\ast },X}$, ou simplesmente $\langle x^{\ast },x\rangle$, ao invés de $x^{\ast }(x)$.

• Se $X\,$ é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado

• Se $X\,$ é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.

• Todo operador linear limitado é fechado.

Bibliografia

• Biezuner, Rodney Josué (2009). Notas de Aula Análise Funcional (PDF). [S.l.: s.n.] 

• Brézis, Haïm (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. doi:10.1007/978-0-387-70914-7 

• Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3 
• Kreyszig, Erwin (1989). Introductory functional analysis with applications. New York: Wiley. ISBN 978-0471504597