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1 – Variável aleatória, em Wikipédia, a enciclopédia livre em pt.wikipedia.org.

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore

2 – Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Um exemplo de uma variável aleatória é o resultado do lançamento de um dado que pode dar qualquer número entre 1 e 6. Embora possamos conhecer os seus possíveis resultados, o resultado em si depende de fatores de sorte (álea). Uma variável aleatória pode ser uma medição de um parâmetro que pode gerar valores diferentes. O conceito de variável aleatória é essencial em estatística e em outros métodos quantitativos para a representação de fenômenos incertos.

3 – Definição informal

Ilustração de uma função de uma variável aleatória. A variável aleatória $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ é a função mensurável de um conjunto de resultados possíveis $\Omega$ para um conjunto $\mathbb {R}$.

4 – Em matemática, uma variável aleatória pode ser definida como uma função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral um único número real. Isto é, $X:\Omega \to \mathbb {R}$ xis–maiscúlo é uma função de domínio ômega–maiúsculo como espaço amostral e contra domínio conjunto de números reais érre–maiscúlo. É comum a representação das variáveis aleatórias por letras maiúsculas e dos valores assumidos por letras minúsculas (ver ilustração) .

5 – Entre as definições informais frequentemente utilizadas para as variáveis aleatórias estão:

1. Uma variável aleatória é uma variável que pode assumir diferentes valores numéricos, definidos para um evento de um espaço amostral $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral.
2. Uma variável aleatória pode ser entendida como o resultado numérico de operar um mecanismo não determinístico ou de fazer uma experiência não determinística para gerar resultados aleatórios.
3. Uma variável aleatória tem resultados que tendem a variar entre as observações devido a fatores relacionados a chance.

6 – Um exemplo de uma variável aleatória é a altura de uma pessoa, em que o conjunto de pessoas é $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral e a variável aleatória é a função que mapeia a pessoa $\omega ,\omega \in \Omega$ a sua altura $X(\omega )$xis–maiúsculo em função de ômega–minúsculo. Com a lei da probabilidade $P$ pe–maiúsculo associada a $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral é possível calcular a probabilidade de a altura ser em qualquer subconjunto de valores entre 180 centímetros e 190 centímetros $P(180\leq X\leq 190)$ probabilidade pe–maiúsculo de xis–maiúsculo ser maior ou igual a 180 e menor ou igual a 190 ou a probabilidade de a altura ser menos que 150 centímetros ou mais que 200 centímetros $P(X\leq 150{\mbox{ ou }}X\geq 200)$.probabilidade pe–maiúsculo de xis–maiúsculo ser maior ou igual a 150 ou maior ou igual a 200

7 – Outro exemplo de uma variável aleatória é o lançamento de um dado, em que $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\omega _{5},\omega _{6}\}$ ômega–maiúsculo igual a abre chaves ômega–minúsculo subscrito um ômega–minúsculo subscrito dois ômega–minúsculo subscrito três ômega–minúsculo subscrito quatro ômega–minúsculo subscrito cinco ômega–minúsculo subscrito seis fecha chaves sendo $\omega _{i}$ ômega–minúsculo subscrito i–minúsculo o resultado $i$ de lançamentos do dado. Todas as probabilidades de diferentes resultados são dadas pela medida de probabilidade $P=(p(\omega _{1}),p(\omega _{2}),p(\omega _{3}),p(\omega _{4}),p(\omega _{5}),p(\omega _{6}))$p–maiúsculo igual abre parênteses função p–minúsculo de ômega–minúsculo um função p–minúsculo de ômega–minúsculo dois função p–minúsculo de ômega–minúsculo três função p–minúsculo de ômega–minúsculo quatro função p–minúsculo de ômega–minúsculo cinco função p–minúsculo de ômega–minúsculo seis fecha parêntesisSeja $X$ xis–maiúsculo o resultado do lançamento do dado, $X(\omega _{i})=i$ xis–maiúsculo em função de ômega–minúsculo subscrito i–minúsculo igual a i. Então, a probabilidade de $X$ xis–maiúsculo ser menor ou igual a 3 é a medida do conjunto de resultados $\{\omega _{i}\in \Omega :X(\omega _{i})\leq 3\}=\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\}$,abre chaves ômega–minúsculo subscrito i–minúsculo pertence a ômega–maiúsculo como espaço amostral, tal que xis–maiúsculo em função de ômega–minúsculo subscrito i–minúsculo menor ou igual a três fecha chaves igual a abre chaves ômega–minúsculo subscrito um ômega–minúsculo subscrito dois ômega–minúsculo subscrito três fecha chaves, denotado como $P(X\leq 3)=p(\omega _{1})+p(\omega _{2})+p(\omega _{3}).$função de probabilidade p'–'maiúsculo de x'–'maiúsculo menor ou igual a três igual a função p'–'minúsculo de ômega'–'minúsculo um mais função p'–'minúsculo de ômega'–'minúsculo dois mais função p'–'minúsculo de ômega'–'minúsculo três 8 – Imagem. Ilustração de uma função de uma variável aleatória. A variável aleatória $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ xis–maiscúlo é uma função de domínio ômega–maiúsculo como espaço amostral e contra domínio conjunto de números reais érre–maiúsculo é a função mensurável de um conjunto de resultados possíveis $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral para um conjunto $\mathbb {R}$ de números reais erre–maiúsculo.

9 – Extensões

10 – Quando $X$ xis–maiúsculo não é necessariamente uma função real $X:\Omega \to E$ xis–maiscúlo é uma função de domínio ômega–maiúsculo como espaço amostral e contra domínio ê–maiscúlo, em que $E$ ê–maiúsculoé qualquer espaço (espaço mensurável), costuma-se chamar a variável $X$ xis–maiúsculode elemento aleatório. O termo variável aleatória é tradicionalmente limitado ao caso real $E=\mathbb {R}$ ê–maiúsculo igual a conjunto de números reais erre–maiúsculo, o que assegura que é possível definir quantidades como o valor esperado e a variância de uma variável aleatória, sua função de distribuição acumulada e os momentos de sua distribuição.

11 – Entretanto, a definição é válida para qualquer espaço mensurável $E$ ê–maiúsculo. Então, é possível considerar elementos aleatórios de outros conjuntos $E$ ê–maiúsculo como valores booleanos aleatórios, variáveis categóricas, números complexos, vetores, matrizes, sequências, árvores, conjuntos, formas, variedades e funções. Portanto, é possível referir-se a uma variável aleatória do tipo $E$ ê–maiúsculo.

12 – O conceito mais geral de elemento aleatório é particularmente útil em disciplinas como teoria dos grafos, aprendizado de máquina, processamento de linguagem natural e outras áreas da matemática discreta ou da ciência da computação, nas quais há geralmente o interesse de modelar variação aleatória de estrutura de dados não numéricos. Porém, em alguns casos é conveniente representar cada elemento de $E$ usando um ou mais números reais. O elemento aleatório pode opcionalmente ser representado como um vetor de variáveis aleatórias reais (definidas no mesmo espaço de probabilidade $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral, que permite que variáveis aleatórias diferentes co-variem), por exemplo:

1. Uma palavra aleatória pode ser representada como um número inteiro aleatório que serve como um índice no vocabulário de palavras possíveis. Ela também pode ser representada como um vetor aleatório cujo comprimento é igual ao tamanho do vocabulário, em que os únicos valores de probabilidade positiva são $(1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )$, um–zero–zero–zero e assim sucessivamente $(0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )$, zero–um–zero–zero e assim sucessivamente $(0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )$ zero–zero–um–zero e assim sucessivamente e a posição do número 1 um indica a palavra.
2. Uma sentença aleatória de um dado comprimento $N$ ene–maiúsculo pode ser representada com um vetor de $N$ ene–maiúsculo palavras aleatórias.
3. Um grafo aleatório em dados vértices $N$ ene–maiúsculo pode ser representado como uma matriz $N$ X $N$ ene–maiúsculo colunas por ene–maiúsculo linhas de variáveis aleatórias, cujos valores especificam a matriz de adjacência do grafo aleatório.
4. Uma função aleatória $F$ efe–maiúsculo pode ser representada como uma coleção de variáveis aleatórias $F(x)$, efe em função de xis dados os valores das funções nos vários pontos $x$ no domínio da função. $F(x)$ efe em função de xis são variáveis aleatórias reais desde a função seja uma função real. Por exemplo, o processo estocástico é uma função aleatória de tempo, um vetor aleatório é uma função aleatória de algum conjunto de índices como $1,2,\ldots n$ um, dois e assim sucessivamente até ene e campo aleatório é uma função aleatória em qualquer conjunto (tipicamente, tempo, espaço ou conjunto discreto).

13 – Exemplo

14 – Uma variável aleatória também pode ser uma função da variável aleatória original (transformação da variável aleatória original). Isto é, uma função da função ou uma função composta. No espaço amostral do lançamento simultâneo de duas moedas, há $\Omega$ = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)} ômega–maiúsculo como espaço amostral igual abre chaves entre parênteses cara–cara, entre parênteses cara–coroa, entre parênteses coroa–cara, entre parênteses coroa–coroa fecha chaves. É possível definir a variável aleatória $X$ xis–maiúsculo como o número de caras, a variável aleatória $Y$ ípsilon–maiúsculo como o número de caras multiplicado por três mais o número de coroas multiplicado por dois $Y=3X+2(2-X)=4+X$ ípsilon–maiúsculo igual a três vezes xis mais dois vezes entre parêntesis dois menos xis, tudo igual a quatro mais xis e a variável aleatória $Z$ como o número de caras multiplicado por 2 $Z=2X$. zê–maiúsculo igual a dois vezes xis

15 – Tabela

Ponto amostral	! Variável aleatória $X$ $X$ = número de caras	Variável aleatória $Y$ $Y=4+X$	Variável aleatória $Z$ $Z=2X$
(cara, cara)	$X$(cara, cara) = 2	Y(cara, cara) = 4 + 2 = 6	Z($X$(cara, cara)) = 2 x 2 = 4
(cara, coroa)	$X$(cara, coroa) = 1	Y(cara, coroa) = 4 + 1 = 5	Z($X$(cara, coroa)) = 2 x 1 = 2
(coroa, cara)	$X$(coroa, cara) = 1	Y(coroa, cara) = 4 + 1 = 5	Z($X$(coroa, cara)) = 2 x 1 = 2
(coroa, coroa)	$X$(coroa, coroa) = 0	Y(coroa, coroa) = 4 + 0 = 4	Z($X$(coroa, coroa)) = 2 x 0 = 0

Para o ponto amostral abre parêntesis cara cara fecha parêntesis, a variável aleatória X sendo X igual ao número de caras é 2, a variável aleatória Y sendo Y igual a quatro mais X é 6 e a variável aleatória Z sendo Z igual a dois X é 4.

Para o ponto amostral abre parêntesis cara coroa fecha parêntesis, a variável aleatória X sendo X igual ao número de caras é 1, a variável aleatória Y sendo Y igual a quatro mais X é 5 e a variável aleatória Z sendo Z igual a dois X é 2.

Para o ponto amostral abre parêntesis coroa cara fecha parêntesis, a variável aleatória X sendo X igual ao número de caras é 1, a variável aleatória Y sendo Y igual a quatro mais X é 5 e a variável aleatória Z sendo Z igual a dois X é 2.

Para o ponto amostral abre parêntesis coroa coroa fecha parêntesis, a variável aleatória X sendo X igual ao número de caras é 0, a variável aleatória Y sendo Y igual a quatro mais X é 4 e a variável aleatória Z sendo Z igual a dois X é 0.

15 – Caso padrão

16 – Quando a imagem (variação) de $X$ xis–maiúsculo é finita ou infinita contável, a variável aleatória é chamada de variável aleatória discreta e sua distribuição pode ser descrita por uma função massa de probabilidade que atribui uma probabilidade a cada valor na imagem de $X$ xis–maiúsculo. Quando a imagem de $X$ xis–maiúsculo é infinita contável, a variável aleatória é chamada de variável aleatória contínua e sua distribuição pode ser descrita por uma função densidade de probabilidade que atribui probabilidades aos intervalos.

17 – Em particular, cada ponto individual precisa ter necessariamente probabilidade zero para uma variável aleatória absolutamente contínua. Nem todas as variáveis aleatórias são absolutamente contínuas, por exemplo, uma distribuição mista. Tais variáveis aleatórias não podem ser descritas por uma função densidade ou por uma função massa de probabilidade. Qualquer variável aleatória pode ser descrita por uma função de distribuição acumulada, que descreve a probabilidade que a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor.

18 – Definição formal

19 – Em termos mais abstratos, uma variável aleatória é uma função que mapeia um resultado de um evento (em um ponto em um espaço de probabilidade) a um resultado matematicamente conveniente, geralmente um número real. É a atribuição de um número a um resultado, um procedimento que paradoxalmente não é nem aleatório nem variável. Uma função que caracteriza uma variável aleatória sempre deve ser mensurável, o que exclui certos casos em que as variáveis aleatórias é infinitamente sensível a qualquer pequena alteração no resultado. Então formalmente uma variável aleatória é uma função mensurável de um espaço de probabilidade, cujo contradomínio é o corpo dos números reais.

20 – A variável aleatória $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ xis–maiscúlo é uma função de domínio ômega–maiúsculo como espaço amostral e contra domínio conjunto de números reais erre–maiúsculoé a função mensurável de um conjunto de resultados possíveis $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostralpara um conjunto $\mathbb {R}$ erre–maiúsculo de números reais. A definição axiomática requer que $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostralseja um espaço mensurável $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ ômega–maiúsculo efe–maiúsculo. Isto é, $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostralé considerado junto com um sistema ${\mathcal {F}}$ efe–maiúsculode subconjuntos de $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostralchamado σ-álgebra. Os elementos de ${\mathcal {F}}$ efe–maiúsculosão chamados conjuntos mensuráveis. É possível observar que em geral não é qualquer subconjunto de $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostralque é mensurável (ou seja, que pertence a ${\mathcal {F}}$ efe–maiúsculo). A definição axiomática também requer que $\mathbb {R}$ conjunto de números reais érre–maiscúlo'seja um espaço mensurável, em que a σ-álgebra de Borel ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ be–maiúsculo do conjunto de números reais érre–maiscúlo é comumente usada como a σ-álgebra de subconjuntos de $\mathbb {R}$ de números reais érre–maiscúlo.

21 –

Em linguagem matemática

Em Português

$X:\Omega \to \mathbb {R} \Leftrightarrow {\color {Red}\left\{\omega :X(\omega )\leq x\right\}}\in {\mathcal {F}},\forall x\in \mathbb {R}$. xis–maiúsculo é uma função de domínio ômega–maiúsculo como espaço amostral e contra domínio conjunto de números reais erre–maiúsculo se e somente se xis–maiúsculo em função de ômega–minúsculo for menor e igual a xis–minúsculo pertencente a efe–maiúsculo para qualquer xis–minúsculo pertencente a erre–maiúsculo de números reais

A função $X$ xis–maiúsculo de $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral em $\mathbb {R}$ conjunto de números reais erre–maiúsculo será uma variável aleatória (ou uma função mensurável) se e somente se para todo valor $x\in \mathbb {R}$ xis–minúsculo pertencente a erre–maiúsculo de números reais, o conjunto de elementos $\omega$ ômega–minúsculo, tais que o valor de função $X$ xis–maiúsculo nos elementos $X(\omega )$ xis–maiúsculo em função de ômega–minúsculo seja menor ou igual a $x$ xis–minúsculo, pertencer ao σ-álgebra ${\mathcal {F}}$efe–maiúsculo.

22 – Funções de distribuição de variáveis aleatórias

21 – Dada uma variável aleatória $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ xis–maiúsculo é uma função de domínio ômega–maiúsculo como espaço amostral e contra domínio conjunto de números reais erre–maiúsculo definida em um espaço de probabilidade $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, ômega–maiúsculo efe–maiúsculo pe–maiúsculo é possível fazer perguntas como o quão provável o valor de $X$ é igual a 2? É a mesma probabilidade do evento $\{\omega :X(\omega )=2\}\,\!$, abre chaves ômega–minúsculo, tal que xis–maiúsculo em função de ômega–minúsculo igual a dois que muitas vezes é escrita como $P(X=2)\,\!$ probabilidade pe–maiúsculo de xis–maiúsculo ser igual a dois ou $f_{X}(2)$ efe–minúsculo–subscrito xis de dois. Tomando todas essas probabilidades de intervalos de resultados de uma variável aleatória real $X$ xis–maiúsculo resulta na distribuição de probabilidade de $X$ xis–maiúsculo . A distribuição de probabilidade não considera o espaço de probabilidade particular usado para definir $X$ xis–maiúsculo e apenas considera a probabilidade de vários valores de $X$ xis–maiúsculo. Tal distribuição de probabilidade sempre pode ser capturada por sua função de distribuição acumulada $F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$ éfe–maiúsculo–subscrito xis de xis igual a probabilidade pe–maiúsculo de xis-maiúsculo ser menor ou igual a xis–minúsculo, às vezes usando a função densidade de probabilidade $f_{X}$. efe–minúsculo–subscrito xis

23 – Em termos da teoria da medida, a variável aleatória $X$ xis–maiúsculo empurra a medida $P$ pe–maiúsculoem $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostralpara a medida $f_{X}$ efe–minúsculo–subscrito xis em $\mathbb {R}$ conjunto de números reais erre–maiúsculo. O espaço de probabilidade subjacente $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral é um mecanismo técnico usado para garantir a existência de variáveis aleatórias, às vezes para construi-las e para definir noções como correlação e dependência ou independência com base em uma distribuição conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade. Na prática, muitas vezes descarta-se completamente o espaço $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral e põe-se apenas a medida em $\mathbb {R}$ conjunto de números reais érre–maiúsculo que atribui medida 1 um para toda a linha real. Isto é, trabalha-se com distribuições de probabilidade em vez de variáveis aleatórias.

24 – Classificação das variáveis aleatórias

25 – As variáveis aleatórias podem ser discretas, contínuas ou mistas.

Discretas	Contínuas	Mistas
Uma função $X$ xis–maiúsculo , definida no espaço amostral $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral e assumindo valores em um conjunto enumerável de pontos da reta, é dita uma variável aleatória discreta.	Uma função $X$ xis–maiúsculo, definida no espaço amostral $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral e assumindo valores em um intervalo de números reais, é dita uma variável aleatória contínua.	Uma função $X$ xis–maiúsculo, cujo contradomínio $\Omega _{x}$ ômega–maiúsculo–subscrito x é não numerável, mas que contém um subconjunto (finito ou infinito numerável), em que cada um dos pontos tem probabilidade maior que zero é dita uma variável aleatória mista.

26 – Variável aleatória discreta

27 – Uma variável aleatória discreta pode assumir valores que podem ser contados. Isto é, uma variável aleatória discreta é uma variável para a qual o conjunto $A$ a–maiúsculo é um conjunto finito ou infinito contável. Por exemplo, $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ a–maiúsculo igual a abre chaves um, dois, três, quatro, cinco, seis fecha chaves ou $A=N=\{0,1,2,3,4,5,6,...,\infty \}$ a–maiúsculo igual a ene–maiúsculo igual a abre chaves zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis e assim sucessivamente até o infinito É uma variável aleatória que assume valores finitos ou infinitos contáveis (a soma de muitos números positivos reais incontáveis sempre converge para o infinito).

28 – O lançamento de um dado de seis lados é um exemplo de variável aleatória discreta finita. O dado fornece um valor inteiro em todos os lançamentos, de modo que não existe a possibilidade de ele cair de lado e fornecer um valor fracionário como 2,5555.

29 – Já o número de carros que passam por um pedágio é um exemplo de variável aleatória discreta infinita. Passará uma infinidade de carros, porém nunca passará a metade de um carro por um pedágio (não haverá frações no número de carros que passarão por um pedágio). O resultado não é conhecido a princípio, mas é sempre descritível com facilidade.

30 – Entre outros exemplos de variáveis aleatórias discretas, estão número de acidentes em uma semana, número de caras em cinco lançamento de moeda, número de defeitos em sapatos, número de falhas em uma safra, número de terremotos, número de jogos empatados e número de livros em uma estante. Entre as distribuições de probabilidade discretas mais conhecidas também estão Distribuição de Bernoulli, Distribuição binomial, Distribuição binomial negativa, distribuição geométrica, Distribuição hipergeométrica, Distribuição de Poisson e Distribuição uniforme.

31 – Lançamento de uma moeda

32 – Uma variável aleatória discreta pode ser usada para descrever os possíveis resultados do lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados para um lançamento de uma moeda podem ser descritos pelo espaço amostral $\Omega =\{{\text{cara}},{\text{coroa}}\}$ ômega–maiúsculo como espaço amostral igual a abre chaves cara coroa fecha chaves.

33 – É possível introduzir a variável aleatória real $Y$ ípsilon–maiscúlo, que corresponde a recompensa de 1 dólar para uma aposta bem sucedida em cara:

$Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{se}}\ \ \omega ={\text{cara}},\\\\0,&{\text{se}}\ \ \omega ={\text{coroa}}.\end{cases}}$

ipsilon–maiscúlo em função de ômega–minúsculo é igual a um se ômega–minúsculo for igual a cara ou igual a zero se ômega–minúsculo for igual a coroa

34 – Se for uma moeda justa, $Y$ ipsilon–maiúsculo tem uma função massa de probabilidade $f_{Y}$éfe–minuscúlo subscrito ípsilon–maiscúlo

dada por:

$f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{se }}y=1,\\\\{\tfrac {1}{2}},&{\text{se }}y=0.\\\end{cases}}$

éfe–minuscúlo subscrito ípsilon–maiscúlo em função de ípsilon–minúsculo é igual a fração de um por dois se ípsilon–minúsculo for igual a um ou igual a fração de um por dois se ípsilon–minúsculo for igual a zero

35 – Lançamento de dois dados

Ilustração do lançamento de dois dados. Se o espaço amostral for o conjunto de possíveis resultados do lançamento de dois dados e a variável aleatória de interesse for a soma S dos resultados do lançamento dos dois dados, então S é uma variável aleatória discreta cuja distribuição é descrita pela função massa de probabilidade representada graficamente pela altura das colunas da imagem.

36 – Uma variável aleatória discreta também pode ser usada para descrever os possíveis resultados do lançamento de dois dados. Uma representação óbvia do lançamento de dois dados é assumir o conjunto de números pares $n_{1},n_{2}$ ene–minúsculo um ene–minúsculo dois de {1, 2, 3, 4, 5, 6} abre chaves um , dois, três, quatro, cinco, seis fecha chaves

como o espaço amostral e o número total de lançamentos (a soma dos números de cada conjunto) como a variável aleatória $X$ dada pela função que mapeia o conjunto a soma $X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}$

xis–maiscúlo em função de enê–minúsculo um e enê–minúsculo dois igual a enê–minúsculo um mais enê–minúsculo dois

e tem a função massa de probabilidade $f_{X}$ éfe–minuscúlo subscrito xis–maiscúlo dada por$f_{X}(x)={\tfrac {\min(x-1,13-x)}{36}},{\text{para }}x\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.

éfe –minuscúlo subscrito xis–maiscúlo em função de ésse–maiscúlo igual a razão do mínimo entre xis–minúsculo menos um e treze menos xis–minúsculo por trinta para xis–minúsculo pertencente a abre chaves, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze, doze fecha chaves

37 – Imagem. Ilustração do lançamento de dois dados. Se o espaço amostral for o conjunto de possíveis resultados do lançamento de dois dados e a variável aleatória de interesse for a soma S dos resultados do lançamento dos dois dados, então S é uma variável aleatória discreta cuja distribuição é descrita pela função massa de probabilidade representada graficamente pela altura das colunas da imagem.

38 – Variável aleatória contínua

39 – Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor numérico em um determinado intervalo ou série de intervalos. Isto é, uma variável aleatória contínua é uma variável para a qual o conjunto A é um conjunto infinito não enumerável. É uma variável que assume valores dentro de intervalos de números reais.

40 – O resultado de lançamento de martelo nas Olimpíadas é um exemplo de variável aleatória contínua. Sabe-se que os valores do lançamento de martelo atingem a distância máxima de 60 metros e a distância mínima classificatória de 30 metros. Todos os lançamentos poderão assumir uma infinidade de possibilidades dentro no intervalo entre 60 metros e 30 metros, pois sempre existirá uma fração para medir a menor diferença possível entre os lançamentos como 59 metros, 25 centímetros, 12 milímetros e assim por diante. Então, $X$ xis–maiúsculo seria uma variável aleatória contínua que assumiria qualquer valor no intervalo 30 $\leq$ $X$ $\leq$ 60. trinta menor ou igual a xis–maiscúlo menor ou igual a sessenta

41 – Entre outros exemplos de variáveis aleatórias contínuas, estão valores de corrente elétrica em um cabo elétrica, flutuações de temperatura, pesos de caixas de laranja, medidas de uma peça usada na indústria para fins de controle de qualidade, alturas de pinheiros, duração de uma conversa telefônica e tempo necessário para completar um ensaio.

42 – Relógio

43 – Seja um relógio mecânico. O ponteiro dos segundos de um relógio mecânico pode parar devido a um defeito técnico. Seja $X$ xis–maiúsculo o ângulo que o ponteiro dos segundos forma com o ponteiro dos minutos, quando o ponteiro dos minutos aponta para o número 12. Como o ponteiro dos segundos move-se 60 vezes, $X$ xis–maiúsculo é uma variável aleatória discreta. Seja agora um relógio digital. O ponteiro dos segundos de um relógio digital também pode parar devido a um defeito técnico. Como o ponteiro dos segundos move-se continuadamente ele pode parar em qualquer ponto, por isso é preciso de outro modelo para representar a variável aleatória $X$ xis–maiúsculo.

44 – Em primeiro lugar, o conjunto dos possíveis valores de $X$ xis–maiúsculo não é mais um conjunto discreto de valores. $X$ xis–maiúsculo pode assumir qualquer valor do intervalo $[0,360)$ = $\{X\in \mathbb {R} :0\leq X<360\}$ zero até trezentos e sessenta igual a abre chaves xis–maiscúlo pertencente ao conjunto dos números reais érre–maiscúlo tal que zero menor ou igual a xis–maiscúlo menor que trezentos e sessenta fecha chaves

45 – Em segundo lugar, existem infinitos pontos nos quais o ponteiro dos segundos pode parar. Usando o mesmo método da variável aleatória discreta, cada ponto teria probabilidade igual a zero. Por um lado, não seria possível determinar a probabilidade de o ângulo $X$ xis–maiúsculo se igual a certo valor porque a probabilidade seria igual a zero. Por outro lado, seria possível determinar a probabilidade de $X$ xis–maiúsculo estar compreendido entre dois valores quaisquer. Por exemplo, a probabilidade de o ponteiro dos segundos parar no intervalo entre os números 12 e 3 é 1/4 um quarto porque corresponde a 1/4 um quarto do intervalo total e a probabilidade de o ponteiro dos segundos parar no intervalo entre os números 4 e 5 é 1/12 um dozeavos porque corresponde a 1/12 um dozeavos do intervalo total. Isto é, $P(0^{\circ }\leq X\leq 90^{\circ })={\tfrac {1}{4}}$ e $P(120^{\circ }\leq X\leq 150^{\circ })={\tfrac {1}{12}}$ .

a probabilidade de pê–maiscúlo do intervalo zero graus menor ou igual a xis–maiscúlo menor ou igual a noventa graus é igual a um quarto e a probabilidade pê–maiscúlo do intervalo de cento e vinte graus menor ou igual a xis–maiscúlo menor ou igual a cento e cinquenta graus é igual a um dozeavos

46 – Sempre será possível calcular a probabilidade de o ponteiro parar em um ponto qualquer intervalo (por menor que ele seja), de acordo com a seguinte função:

$f_{X}(x)={\begin{cases}\ 0,&{\text{se }}x<0^{\circ },\\\\{\tfrac {1}{360}},&{\text{se }}0^{\circ }\leq x<360^{\circ },\\\\\ 0,&{\text{se }}x\geq 360^{\circ }.\\\end{cases}}$

éfe–minúsculo subscrito xix–maiúsculo em função de xis–minúsculo é igual a zero se xis–minúsculo for menor de zero grau, é igual a razão de um por trezentos e sessenta se zero grau menor ou igual a xis–minúsculo menor que trezentos e sessenta graus ou é igual a zero se xis–minúsculo for maior igual a trezentos e sessenta graus

47 – Variável aleatória mista

48 – Existem situações práticas, em que a variável aleatória pode tanto assumir valores discretos$X_{1},X_{2},X_{3}...$ xis–maiúsculo um xis–maiúsculo dois xis–maiúsculo três e assim sucessivamente quando assumir todos os valores em um determinado intervalo. Essas variáveis aleatórias são conhecidas como variáveis aleatórias mistas.

49 – Lançamento de moeda com jogo de roleta

50 – Um exemplo de uma variável aleatória mista pode ser um experimento em que uma moeda é lançada e uma roleta é girada se o resultado do lançamento da moeda for cara. Se o resultado do lançamento da moeda for cara, $X$ xis–maiúsculo é igual ao valor da roleta. Se o resultado do lançamento da moeda for coroa, $X$ xis–maiúsculo é igual a -1 menos um. Há a probabilidade meio de essa variável aleatória ter o valor -1 menos um, e meio de ficar no intervalo $[0,360)$ zero até trezentos e sessenta.

51 – Funções associadas às variáveis aleatórias

52 – Uma variável aleatória é uma função que está intimamente relacionada com três outras funções, função densidade, função de probabilidade e função distribuição acumulada. Uma variável aleatória também está intimamente relacionada com a distribuição de probabilidade, que corresponde a probabilidade de uma variável aleatória assumir um determinado valor do domínio, por exemplo, a probabilidade de o resultado do lançamento de um dado honesto ser 3. Uma variável aleatória pode ser univariada ou multivariada. Há a transformação da função densidade para função conjunta quando a variável aleatória é multivariada. Há também a mudança de nome da função probabilidade, dependendo do tipo da variável aleatória.

Variável Aleatória	Univariada (unidimensional)	Multivariada (vetor aleatório)
Discreta	Função de probabilidade	Função de distribuição conjunta
Contínua	Função densidade de probabilidade	Função densidade de probabilidade conjunta

Para variável aleatória discreta univariada ou unidimensional, função de probabilidade.

Para variável aleatória discreta multivariada ou vetor aleatório, função de distribuição conjunta.

Para variável aleatória contínua univariada ou unidimensional,Função densidade de probabilidade.

Para variável aleatória contínua multivariada ou vetor aleatório,Função densidade de probabilidade conjunta.

53 – Funções de variáveis aleatórias

54 – Em um experimento, um indivíduo pode se interessar mais pela função do resultado e menos pelo resultado em si. Em um lançamento de dados, um apostador pode se interessar mais na soma dos resultados e menos nos valores individuais (isto é, ele pode priorizar uma soma de resultado 10 em vez de uma sequência real de 5, 5 ou 6, 4). Em um lançamento de moeda, um jogador pode se interessar mais pelo número de caras e menos pela sequência de caras e coroas. Esses resultados mais importantes são variáveis aleatórias, definidas como funções reais definidas em espaços amostrais.

55 – Em caso de transformações de variáveis aleatórias, as variáveis aleatórias são definidas como funções de variáveis aleatórias ou funções compostas. Seja uma variável aleatória $X$ xis–maiúsculo em $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral e uma função mensurável $X:\Omega \to \mathbb {R}$ 'xis–maiúsculo de domínio ômega–maiúsculo como espaço amostral e contra domínio conjunto de números reais' 'érre–maiúsculo' Então, $Y=g(X)$, ipsilon–maiúsculo igual a função ge–minúsculo de xis–maiúsculo em que $g$ ge–minúsculo é uma função mensurável em $\mathbb {R}$ conjunto de números reais erre–maiúsculo, também será uma variável aleatória em $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral (a composição de funções mensuráveis é mensurável). O mesmo processo que permite ir de um espaço probabilidade $(\Omega ,P)$ ômega–maiscúlo pê–maisúsculo para $(\mathbb {R} ,dF_{X})$ conjunto dos números reais erre–maiúsculo dê–minúsculo éfe–maiúsculo subscrito xis–maiscúlo também pode ser usado para obter a distribuição probabilidade de $Y$ ipsilon–maiúsculo. A função distribuição acumulada de $Y$ipsilon–maiúsculo pode ser definida como $F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).$

função éfe–maiúsculo subscrito ipsilon–maiscúlo de ipsilon–minúsculo igual a probabilidade pê–maiúsculo da função éfe–minúsculo ser menor ou igual a ipsilon–minúsculo

56 – Seja $X$ xis–maiúsculo uma variável aleatória real e seja $Y=X^{2}$ipsilon–maiúsculo igual a xis–maiúsculo elevado a dois. Então, $F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).$

função éfe–maiúsculo subscrito ipsilon–maiscúlo de ipsilon–minúsculo igual a função probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo elevado a dois menor ou igual a ipsilon–minúsculo

Se $y<0$, ipsilon–minúsculo menor que zero então $P(X^{2}\leq y)=0$ função de probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo elevado a dois menor ou igual a ipsilon–minúsculo é igual a zero Logo, $F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{se}}\quad y<0.$ função éfe–maiúsculo subscrito ipsilon–maiscúlo de ipsilon–minúsculo igual a zero se ipsilon–minúsculo menor que zero

Se $y\geq 0$, ipsilon–minúsculo maior ou igual a zero' então $\operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}).$ função de probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo elevado a dois menor ou igual a ipsilon–minúsculo igual a função de probabilidade pê–maiúsculo do módulo de xis–maiúsculo menor ou igual a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo, tudo igual a função de probabilidade pê–maiúsculo de raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa menor ou igual a xis–maiúsculo menor ou igual a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo'

57 – Essa probabilidade pode ser escrita como $\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (X\leq {\sqrt {y}})-\operatorname {P} (X<-{\sqrt {y}})$. função probabilidade pê–maiúsculo de raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa menor ou igual a xis–maiúsculo menor ou igual a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo igual a função probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo menor ou igual a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo menos a função probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo menor que a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa

58 – Embora a primeira parcela seja $\operatorname {P} (X\leq {\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}})$ a função probabilidade pê–maiúsculo de xis-maiúsculo menor ou igual a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo igual a função éfe–maiúsculo subscrito xis–maiscúlo da raiz quadrada de ipsilon–minúsculo, a segunda parcela é a distribuição acumulada menos a chance de $X$ xis–maiúsculo ser igual a $-{\sqrt {y}}$. raiz quadrada de ipsilon negativa Isto é, $\operatorname {P} (X<-{\sqrt {y}})=F_{X}(-{\sqrt {y}})-P(X=-{\sqrt {y}})$

função de probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo menor que raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa igual a função éfe–maiúsculo subscrito xis–maiscúlo da raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa menos a função de probabilidade de xis–maiúsculo igual a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa. Logo, $F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})+P(X=-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{se}}\quad y\geq 0.$ função éfe–maiúsculo subscrito ipsilon–maiscúlo de ipsilon–minúsculo igual a função éfe–maiúsculo subscrito xis–maiscúlo da raiz quadrada de ipsilon–minúsculo menos a função éfe–maiúsculo subscrito xis–maiscúlo da raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa mais a função de probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo igual a raiz quadrada de ipsilon–minúsculo negativa se ipsilon–minúsculo for maior ou igual a zero

59 – Momentos

60 – Os momentos dão informações parciais sobre a medida de probabilidade $P$ pê–maiúsculo, a função distribuição acumulada ou a função massa de probabilidade de uma variável aleatória $X$ xis–maiúsculo. Os momentos de $X$ xis–maiúsculo são esperanças de potências de $X$ xis–maiúsculo. O $n-$ésimo momento da variável aleatória $X$ xis–maiúsculo pode ser definido como $EX^{n}$ o produto da esperança ê por xis–maiúsculo elevado a êne–minúsculo, para qualquer inteiro não negativo $n$ êne–minúsculo, se a esperança existe.

61 – Equivalência de variáveis aleatórias

62 – Há diferentes formas de afirmar se duas ou mais variáveis aleatórias são equivalentes. As variáveis aleatórias podem ser iguais, quase certamente iguais, iguais em distribuição e iguais na média, de acordo com as descrições em ordem crescente de força abaixo.

63 – Igualdade de distribuição

64 – Duas variáveis aleatórias $X$ xis–maiúsculo e $Y$ ipsilon–maiúsculo são iguais em distribuição se $\operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\hbox{para todo}}\quad x.$ a função de probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo menor ou igual a xis–minúsculo for igual a função de probabilidade pê–maiúsculo de ipsilon–maiúsculo menor ou igual a xis–minúsculo para todo xis–minúsculo

65 – Para serem iguais em distribuição, as variáveis aleatórias não têm de ser definidas no mesmo espaço de probabilidade. O conceito de equivalência de distribuição é associado ao conceito de distância entre distribuições de probabilidade $d(X,Y)=\sup _{x}|\operatorname {P} (X\leq x)-\operatorname {P} (Y\leq x)|,$ distância dê–minúsculo entre xis–maiúsculo e ipsilon–maiúsculo igual ao supremo em xis–minúsculo do módulo da função de probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo menor ou igual a xis–minúsculo menos a função probabilidade pê–maiúsculo de ipsilon–maiúsculo menor ou igual a xis–minúsculo que é a base do Teste Kolmogorov-Smirnov.

66 – Igualdade de média

67 – Duas variáveis aleatórias $X$ xis–maiúsculo e $Y$ ipsilon–maiúsculo são iguais na média de ordem $p$ pe–minúsculo se o momento de ordem $p$ pe–minúsculo de $\left|X-Y\right|$ módulo de xis–maiúsculo menos ipsilon–maiúsculo é 0. Isto é, $\operatorname {E} (|X-Y|^{p})=0.$ a esperança ê–maiúsculo do módulo de xis–maiúsculo menos ipsilon–maiúsculo elevado a pê–minúsculo igual a zero A igualdade na média de ordem $p$ pe–minúsculo implica a igualdade nas médias de ordem $q$ que–minúsculo para todos os $q$ ques–minúsculos tais que $q<p$. que–minúsculo menor que pe–minúsculo Como em igualdade de distribuição, existe uma distância entre as variáveis aleatórias $d_{p}(X,Y)=\operatorname {E} (|X-Y|^{p}).$ distância dê–minúsculo subscrito pê–minúsculo entre xis–maiúsculo e ipsilon–maiúsculo igual a esperança ê–maiúsculo do módulo de xis–maiúsculo menos ipsilon–maiúsculo elevado a pê–minúsculo

68 – Igualdade quase certa

69 – Duas variáveis aleatórias $X$ xis–maiúsculo e $Y$ ipsilon–maiúsculo são quase certamente iguais se, e apenas se, a probabilidade de elas serem diferentes for 0. Isto é, $\operatorname {P} (X\neq Y)=0.$ função de probabilidade pê–maiúsculo de xis–maiúsculo diferente de ipsilon–maiúsculo igual a zero Para todos os objetivos práticos da teoria da probabilidade, o conceito de igualdade quase certa é tão forte quanto o conceito de igualdade. Ele está associado a distância entre as variáveis aleatórias $d_{\infty }(X,Y)=\sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,$

distância dê–minúsculo subscrito infinito entre xis–maiúsculo e ipsilon–maiúsculo igual ao supremo em ômega–minúsculo do módulo da função xis–maiúsculo em ômega–minúsculo menos a função ipsilon–maiúsculo de ômega–minúsculo em que $\sup$ representa o supremum essencial em teoria da medida.

70 – Igualdade

71 – Finalmente, duas variáveis aleatórias $X$ xis–maiúsculo e $Y$ ipsilon–maiúsculo são iguais em seu espaço de probabilidade se $X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{para todo}}\quad \omega$. função xis–maiúsculo de ômega–minúsculo igual a função ipsilon–maiúsculo de ômega–minúsculo para todo ômega–minúsculo

72 – Contra-exemplos

73 – Os contra-exemplos mostram que a implicação inversa dos conceitos de equivalência de variáveis aleatórias nem sempre é válida. É o caso da igualdade de distribuição, mas não igualdade de média. Considerando o espaço amostral dos lançamentos de dois dados honestos $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral e as variáveis aleatórias valor do primeiro dado $X$ xis–maiúsculo e valor do segundo dado $Y$ ipsilon–maiúsculo, observa-se que $X$ xis–maiúsculo e $Y$ ipsilon–maiúsculo são iguais em distribuição, mas não são iguais em média, pois $X$ xis–maiúsculo e $Y$ ipsilon–maiúsculo são independentes.

74 – Convergência

75 – Em estatística, busca-se provar resultados convergentes para certas sequências de variáveis aleatórias como na lei dos grandes números ou no teorema do limite central. Em vários casos, a sequência $X_{n}$ xis–maiúsculo subscrito n–minúsculo de variáveis aleatórias podem convergir para uma variável aleatória $X$. xis–maiúsculo Com exceção da convergência pontual, as convergências precisam de uma probabilidade.

76 – Convergência em Probabilidade

77 – Quando uma sequência de variáveis aleatórias é muito extensa — por exemplo, mil variáveis aleatórias — diz-se que a quantidade de variáveis aleatórias $n$ n–minúsculo é grande e que a probabilidade da diferença $|X_{n}-X|$ módulo de xis–maiúsculo subscrito ene–minúsculo menos xis–maiúsculo ser maior do que qualquer número positivo escolhido $\varepsilon$ épsilon–minúsculo tende a zero. Seja $\{{X_{n}}\}_{n>1}$ abre chaves xis–maiúsculo subscrito ene–minúsculo fecha chaves subscrito ene–minúsculo maior que um uma sequência de variáveis aleatórias e $X$ xis–maiúsculo uma variável aleatória definida no mesmo espaço de probabilidade. Então, diz-se que $X_{n}$ xis–maiúsculo subscrito n–minúsculo converge em probabilidade para $X$ xis–maiúsculo. Isto é, $X_{n}\,{\xrightarrow {\mathcal {P}}}\,X$ para $n\to \infty$ se $\lim _{n\to \infty }P\left(\left|X_{n}-X\right|\geq \varepsilon \right)=0,\forall \varepsilon >0$. limite de êne–minúsculo tendendo ao infinito da função probabilidade pê–maúsculo do módulo do 'xis–maiúsculo subscrito' e'n'e'–minúsculo' menos xis–maiúsculo maior ou igual a épsilon–minúsculo igual a zero, para qualquer épsilon–minúsculo maior do que zero

78 – Convergência Quase Certa

79 – Em um espaço de probabilidade $\Omega$ ômega–maiúsculo como espaço amostral, diz-se que uma sequência de variáveis aleatórias converge para uma variável aleatória quase certamente quando: $P{\Big (}\lim _{n\to \infty }X_{n}=X{\Big )}=1$. função de probabilidade pê–maúsculo do limite de êne–minúsculo tendendo ao infinito do xis–maiúsculo subscrito ene–minúsculo igual a xis–maiúsculo, tudo idual a um

80 – Convergência em Distribuição

81 – Seja uma sequência de variáveis aleatórias $\{{X_{n}}\}_{n>1}$ abre chaves xis–maiúsculo subscrito ene–minúsculo fecha chaves subscrito ene–minúsculo. Ela irá convergir em distribuição para uma variável aleatória $X$ xis–maiúsculo se: $E[g(X_{n})]\to E[g(X)]$ esperança ê–maiúsculo da função ge–minúsculo de xis–maiúsculo subscrito ene–minúsculo tendendo a esperança ê–maiúsculo da função ge–minúsculo de xis-maiúsculo para qualquer função $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ contínua e limitada, o que pode ser escrito como $\int g(x)dF_{n}(x)\to \int g(x)dF(x)$ integral da função gê de xis–minúsculo vezes dê–minúsculo efe–maiúsculo subscrito ene–miníusculo em função de xis–minúsculo tende a integral da função gê de xis–minúsculo vezes dê–minúsculo efe–maiúsculo em função de xis–minúsculo em que $F$ efe–maiúsculo é função de distribuição acumulada de $X$ xis–maiúsculo e $F_{n}$ efe–maiúsculo subscrito ene–minúsculo é função de distribuição acumulada de $X_{n}$xis–maiúsculo subscrito ene–minúsculo.

82 – Fim da gravação. Materiais adicionais como notas, referências, bibliografias e ligações externas estão disponíveis no artigo original escrito na Wikipédia.

83 – Texto narrado pelo usuário Mariliawikipedia pelo Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática, com i apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, para a Wikipédia lusófona. Este áudio está licenciado sob Creative Commons Attribution ShareAlike 4.0 Unported.

84 – Índice

1 Definição informal

1.1 Extensões

1.2 Exemplo

1.3 Caso padrão

2 Definição formal

2.1 Funções de distribuição de variáveis aleatórias

3 Classificação das variáveis aleatórias

3.1 Variável aleatória discreta

3.1.1 Lançamento de uma moeda

3.1.2 Lançamento de dois dados

3.2 Variável aleatória contínua

3.2.1 Relógio

3.3 Variável aleatória mista

3.3.1 Lançamento de moeda com jogo de roleta

4 Funções associadas às variáveis aleatórias

5 Funções de variáveis aleatórias

6 Momentos

7 Equivalência de variáveis aleatórias

7.1 Igualdade de distribuição

7.2 Igualdade de média

7.3 Igualdade quase certa

7.4 Igualdade

7.5 Contra-exemplos

8 Convergência

8.1 Convergência em Probabilidade

8.2 Convergência Quase Certa

8.3 Convergência em Distribuição

Ver também

• Aleatoriedade
• Distribuição de probabilidade
• Evento
• Processo estocástico
• Variável aleatória discreta
• Variável aleatória contínua