Absorção (lógica)

Absorção é uma forma lógica de argumento válido e uma regra de inferencia da lógica proposicional. A regra estabelece que se $P$ implica $Q$, então $P$ implica $P$ e $Q$. A regra torna possível introduzir conjunções em provas. Isto é chamado de lei de absorção visto que o termo $Q$ é "absorvido" pelo termo $P$ na consequência. Formalmente:

${\frac {P\to Q}{\therefore P\to (P\land Q)}}$

ou seja: sempre uma instância de "$P\to Q$" aparecer numa linha de alguma prova, "$P\to (P\land Q)$" pode ser conluído na linha seguinte.

Notação formal

A regra de absorção pode ser expressa como a sequente:

$P\to Q\vdash P\to (P\land Q)$

onde $\vdash$ é um símbolo metalogico significando que $P\to (P\land Q)$ é consequência lógica de $(P\leftrightarrow Q)$ em algum sistema lógico;

e expresso como uma tautologia ou teorema da lógica proposicional. O princípio foi estabelecido como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em principia mathematica como:

$(P\to Q)\leftrightarrow (P\to (P\land Q))$

onde $P$, e $Q$ são proposições expressas em algum sistema lógico.

Exemplos

Se vai chover, então eu levarei meu casaco.
Portanto, se vai chover então vai chover e eu levarei meu casaco.

Prova por tabela-verdade

$P\,\!$	$Q\,\!$	$P\rightarrow Q$	$P\rightarrow P\land Q$
v	v	v	v
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Prova formal

Proposição	Derivação
$P\rightarrow Q$	Implicação
$\neg P\lor Q$	Implicação material
$\neg P\lor P$	Lei do terceiro excluído
$(\neg P\lor P)\land (\neg P\lor Q)$	Conjunção
$\neg P\lor (P\land Q)$	Distribuição reversa
$P\rightarrow (P\land Q)$	Implicação material