Algoritmo de Zhao Youqin para π

O algoritmo de Zhao Youqin para π foi um algoritmo criado pelo astrônomo e matemático chinês da Dinastia Yuan Zhao Youqin (赵友钦, ? – 1330) para calcular o valor de π em seu livro Ge Xiang Xin Shu (革象新书).

Algoritmo de Zhao Youqin para π

Uma página do livro de Zhao Youqin Ge Xiang Xin Shu Vol. 5

Algoritmo

Zhao Youqin começou com um quadrado inscrito em um círculo com raio r.

Se $\ell$ denota o comprimento de um lado do quadrado, desenhe uma linha perpendicular d do centro do círculo ao lado l. Seja e por definição r − d. Então do diagrama

$d={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}$

$e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}.$

Estenda a linha perpendicular d para dividir o círculo em um octógono; $\ell _{2}$ denota o comprimento de um lado do octógono.

$\ell _{2}={\sqrt {\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}+e^{2}}}$

$\ell _{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell ^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell ^{2}}}\right)^{2}}}$

Seja $l_{3}$ o comprimento de um lado do hexadecágono

$\ell _{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{2}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{2}^{2}}}\right)^{2}}}$

similarmente

$\ell _{n+1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{n}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{n}^{2}}}\right)^{2}}}$

Procedendo desta forma Zhao Youqin calculou o lado de um 16384-gono, multiplicando-o por 16384 para obter 3141,592 para um círculo com diâmetro = 1000 unidades, ou

$\pi =3.141592\,.$

Zhao Youqin multiplicou este número por 113 e obteve 355. Deduziu deste número que dos valores tradicionais de π, 3, 3,14, 227 e 355113, o último é o mais preciso.

Ver também

• Algoritmo de Liu Hui para π