Axioma da potência

Em matemática, o axioma da potência é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC)

Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, lê-se:

onde P é o conjunto das partes, ou conjunto potência de A, . Em português, ele diz:

Para todo conjunto A, existe um conjunto tal que, dado qualquer conjunto B, B pertence a se e somente se B é um subconjunto de A. (Subconjunto não foi usado na definição formal acima porque o axioma da potência é um axioma que pode requerir ser expressado sem referência ao conceito de subconjunto.)

Pelo axioma da extensão este conjunto é único. Nós chamamos o conjunto de conjunto das partes e A. portanto, a essência desse significado é que todo conjunto possui um conjunto das partes.

O Axioma da Potência aparece na maioria das axiomatizações da teoria dos conjuntos. Ele é geralmente considerado não controverso, porém a Teoria Construtivista dos Conjuntos prefere uma versão mais fraca, para evitar preocupações com predicabilidade.

Consequências

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O Axioma da Potência permite uma definição simples de Produto Cartesiano de dois conjuntos   e  :

 

Perceba que:

 
 
 

e portanto, o produto cartesiano é um conjunto, já que

 

Pode-se definir o produto cartesiano de qualquer coleção finita de conjuntos recursivamente:

 

Note que a existência do produto cartesiano pode ser provada sem o uso do Axioma da Potência, como no caso da Teoria dos Conjuntos Kripke-Platek.

Referencias

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