Base de Gröbner

Em álgebra computacional, geometria algébrica computacional e em álgebra comutativa computacional, uma Base Gröbner é um tipo particular de subconjunto gerador de um ideal I em um anel de polinômios R. Ela pode ser entendida como uma generalização não linear, para várias variáveis:

• Do algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum em uma variável;
• Do processo de eliminação de Gauss para sistemas lineares,
• Dos problemas de programação inteira

A teoria das bases de Gröbner para anéis de polinômios foi desenvolvida por Bruno Buchberger em 1965, e foi assim denominada em homenagem ao seu orientador Wolfgang Gröbner. A Associação para Maquinaria da Computação concedeu-lhe em 2007 o prêmio Paris Kanellakis pelo seu trabalho. Um conceito análogo para anéis locais foi desenvolvido independentemente por Heisuke Hironaka em 1964, recebendo o nome de base padrão. A teoria análoga para álgebras de Lie livres foi desenvolvida por A. I. Shirshov em 1962, mas seu trabalho ainda é pouco conhecido fora da União Soviética.

Referências

• William W. Adams, Philippe Loustaunau (1994). An Introduction to Gröbner Bases. American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics, Volume 3. ISBN 0-8218-3804-0
• Thomas Becker, Volker Weispfenning (1998). Gröbner Bases. Springer Graduate Texts in Mathematics 141. ISBN 0-387-97971-7
• Bruno Buchberger (1965). An Algorithm for Finding the Basis Elements of the Residue Class Ring of a Zero Dimensional Polynomial Ideal. Ph.D. dissertation, University of Innsbruck. English translation by Michael Abramson in Journal of Symbolic Computation 41 (2006): 471-511. [This is Buchberger's thesis inventing Gröbner bases.]
• Bruno Buchberger (1970). An Algorithmic Criterion for the Solvability of a System of Algebraic Equations. Aequationes Mathematicae 4 (1970): 374-383. English translation by Michael Abramson and Robert Lumbert in Gröbner Bases and Applications (B. Buchberger, F. Winkler, eds.). London Mathematical Society Lecture Note Series 251, Cambridge University Press, 1998, 535-545. ISBN 0-521-63298-6 (This is the journal publication of Buchberger's thesis.)
• David Cox, John Little, and Donal O'Shea (1997). «Chapter 2: Gröbner Bases». Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-94680-2  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Ralf Fröberg (1997). An Introduction to Gröbner Bases. [S.l.]: Wiley & Sons. ISBN 0-471-97442-0 
• Sturmfels, Bernd (2005), «What is . . . a Gröbner Basis?» (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 52 (10): 1199–1200, a brief introduction. 
• A. I. Shirshov (1999). «Certain algorithmic problems for Lie algebras» (PDF). ACM SIGSAM Bulletin. 33 (2): 3–6  (translated from Sibirsk. Mat. Zh. Siberian Mathemaics Journal, 3 (1962), 292-296)
• M. Aschenbrenner and C. Hillar, Finite generation of symmetric ideals, Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), 5171-5192 (on infinite dimensional Gröbner bases for polynomial rings in infinitely many indeterminates).

Ligações externas

• B. Buchberger, Groebner Bases: A Short Introduction for Systems Theorists in Proceedings of EUROCAST 2001.
• Buchberger, B. and Zapletal, A. Gröbner Bases Bibliography.
• «Comparative Timings Page for Gröbner Bases Software» 
• «ogb». Online Gröbner Basis, Galway, Éire 
• «Java applet for computing Gröbner bases». by Fabrizio 
• «Gröbner Basis Theory». Leicester University 
• «Prof. Bruno Buchberger». Bruno Buchberger 
• Weisstein, Eric W. «Gröbner Basis». MathWorld (em inglês)