Conjectura de Fermat-Catalan

A conjectura de Fermat-Catalan é que $a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad$ tem apenas um número finito de soluções quando $a,b,c$ são inteiros coprimos positivos e $m,n,k$ são inteiros positivos que satisfazem ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$.

Existem atualmente apenas 10 soluções conhecidas.

$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$

$2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$

$13^{2}+7^{3}=2^{9}\;$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$

Ver também

• Problemas do Prémio Millenium