Conjectura de Ryu-Takayanagi
A conjectura de Ryu-Takayanagi é uma conjectura do campo da holografia que postula uma relação quantitativa entre a entropia de emaranhamento de uma teoria de campo conformal (CFT) e a geometria de um espaço-tempo anti-de Sitter (AdS) associado a ela.[1][2] A fórmula caracteriza "telas holográficas" a granel; ou seja, ela especifica quais regiões da geometria bruta são "responsáveis por informações específicas na teoria de campo conformal dual".[3] A conjectura leva o nome de Shinsei Ryu e de Tadashi Takayanagi, os quais publicaram o resultado conjuntamente em 2006.[4] Com isso, os autores receberam o Prêmio New Horizons in Physics de 2015 por "ideias fundamentais sobre entropia em teoria quântica de campos e gravidade quântica".[5] A fórmula foi generalizada para uma forma covariante em 2007.[6]
Motivação
editarA termodinâmica dos buracos negros sugere certas relações entre a entropia dos buracos negros e a sua geometria. Mais especificamente, a fórmula de área de Bekenstein-Hawking conjectura que a entropia de um buraco negro é proporcional à área superficial do seu horizonte de eventos:
A entropia de Bekenstein-Hawking é uma medida da informação perdida por observadores externos devido à presença do horizonte de eventos. O horizonte do buraco negro funciona como uma "tela" que define uma região do espaço-tempo (o exterior do buraco negro) que não é afetada por outra região (o interior do buraco negro). A lei da área de Bekenstein-Hawking afirma que a área dessa superfície é proporcional à entropia da informação perdida por trás dela.
A entropia de Bekenstein-Hawking é uma declaração sobre a entropia gravitacional de um sistema; no entanto, existe outro tipo de entropia que é importante na teoria da informação quântica: a entropia de emaranhamento (ou entropia von Neumann). Essa forma de entropia fornece uma medida de o quão distante de um estado puro um determinado estado quântico está, ou, equivalentemente, o quão emaranhado ele está. A entropia de emaranhamento é um conceito útil em muitas áreas, como na física da matéria condensada e em sistemas quânticos de muitos corpos. Dado seu uso e sua similaridade sugestiva com a entropia de Bekenstein-Hawking, é relevante ter uma descrição holográfica da entropia de emaranhamento em termos de gravidade.
Preliminares holográficas
editarO princípio holográfico afirma que as teorias gravitacionais em uma determinada dimensão são duais para uma teoria de gauge em uma dimensão inferior. A correspondência AdS/CFT é um exemplo dessa dualidade. Nesse caso, a teoria de campo é definida em um panorama fixo e é equivalente a uma teoria gravitacional quântica cujos diferentes estados correspondem a uma possível geometria do espaço-tempo. A teoria de campo conformal é frequentemente vista como estando presente no limite do espaço dimensional superior cuja teoria gravitacional ela define. O resultado dessa dualidade é um dicionário entre as duas descrições equivalentes. Por exemplo, em uma CFT definido num espaço de Minkowski d-dimensional, o estado de vácuo corresponde ao espaço AdS puro, enquanto o estado térmico corresponde a um buraco negro planar.[7] É importante destacar, ainda, que o estado térmico de uma CFT definido na esfera d-dimensional corresponde ao buraco negro de Schwarzschild (d+1)-dimensional no espaço AdS.
A lei da área de Bekenstein-Hawking, embora afirme que a área do horizonte do buraco negro é proporcional à entropia do buraco negro, falha em fornecer uma descrição microscópica autossuficiente de como essa entropia surge. O princípio holográfico fornece tal descrição relacionando o sistema de um buraco negro a um sistema quântico que admite tal descrição microscópica. Nesse caso, a CFT possui autoestados discretos e o estado térmico é o conjunto canônico desses estados.[7] A entropia desse conjunto pode ser calculada por métodos comuns e produz o mesmo resultado previsto pela lei de área, o que consiste num caso especial da conjectura de Ryu-Takayanagi.
Conjectura
editarConsidere uma fatia espacial de um espaço-tempo AdS em cujo limite definimos a CFT dual. A fórmula Ryu-Takayanagi consiste em
-
(1)
em que é a entropia de emaranhamento da CFT em alguma subregião espacial com seu complemento e é a superfície Ryu-Takayanagi no volume total.[1] Essa superfície deve satisfazer três propriedades:[7]
- tem o mesmo limite que .
- é homóloga a .
- extremiza a área. Se houver múltiplas superfícies extremas, é a que tem a menor área.
Por causa da propriedade (3), essa superfície é normalmente chamada de superfície mínima quando o contexto é evidente. Além disso, a propriedade (1) garante que a fórmula preserve certas características da entropia de emaranhamento, como e . A conjectura fornece uma interpretação geométrica explícita da entropia de emaranhamento da CFT limite como a área de uma superfície no volume total.
Exemplo
editarEm seu artigo original, Ryu e Takayanagi mostram esse resultado explicitamente para um exemplo em no qual uma expressão para a entropia de emaranhamento já é conhecida.[1] Para um espaço de raio , a CFT dual tem uma carga central dada por
-
(2)
Além disso, obedece à seguinte métrica:
em (essencialmente, uma pilha de discos hiperbólicos). Como essa métrica diverge em , é restrito a . Tal imposição de um máximo é análoga à correspondente limitação de UV na CFT. Sendo o comprimento do sistema CFT (nesse caso, a circunferência do cilindro calculada com a métrica apropriada) e o espaçamento da rede, tem-se
Neste caso, a CFT limite reside nas coordenadas . Considere um corte fixo e tome por a subregião do limite, sendo o comprimento de . Nesse caso, a superfície mínima é facilmente identificada, pois é apenas a geodésica através do volume total a qual conecta e . Lembrando o corte da rede, o comprimento da geodésica pode ser calculado por
-
(3)
Assumindo , pode-se usar a fórmula de Ryu–Takayanagi para calcular a entropia de emaranhamento. Subsituindo-se o comprimento da superfície mínima calculada em (3) e a carga central (2), a entropia de emaranhamento é dada por
-
(4)
Isso corrobora o resultado calculado por meios usuais.[8]
Referências
- ↑ a b c Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (21 de agosto de 2006). «Aspects of Holographic Entanglement Entropy». Journal of High Energy Physics. 2006 (8). 045 páginas. Bibcode:2006JHEP...08..045R. ISSN 1029-8479. arXiv:hep-th/0605073 . doi:10.1088/1126-6708/2006/08/045
- ↑ Citação:
- ↑ Citação:
- ↑ Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (maio de 2006). «Holographic Derivation of Entanglement Entropy from AdS/CFT». Phys. Rev. Lett. 96 (18). 181602 páginas. PMID 16712357. arXiv:hep-th/0603001 . doi:10.1103/PhysRevLett.96.181602
- ↑ «Recipients of the 2015 Breakthrough Prizes in Fundamental Physics and Life Sciences Announced». www.breakthroughprize.org. Consultado em 3 de agosto de 2018
- ↑ Hubeny, Veronika E.; Rangamani, Mukund; Takayanagi, Tadashi (23 de julho de 2007). «A Covariant Holographic Entanglement Entropy Proposal». JHEP. 2007 (7). 062 páginas. arXiv:0705.0016 . doi:10.1088/1126-6708/2007/07/062
- ↑ a b c Van Raamsdonk, Mark (31 de agosto de 2016). «Lectures on Gravity and Entanglement». New Frontiers in Fields and Strings. [S.l.: s.n.] pp. 297–351. ISBN 978-981-314-943-4. arXiv:1609.00026 . doi:10.1142/9789813149441_0005
- ↑ Calabrese, Pasquale; Cardy, John (11 de junho de 2004). «Entanglement entropy and quantum field theory». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. P06002 (6): P06002. arXiv:hep-th/0405152 . doi:10.1088/1742-5468/2004/06/P06002