Conjunto canónico

O conjunto canónico (português europeu) ou conjunto canônico (português brasileiro) ou ensemble canónico (português europeu) ou ensemble canônico (português brasileiro) em física estatística é um ensemble estatístico que modeliza um sistema físico em contato com um reservatório térmico de temperatura fixa, supondo que o volume e o número de partículas do sistema também são fixos. O ensemble canônico descreve tipicamente um sistema em contato com um reservatório térmico através de uma parede diatérmica, fixa e impermeável, mas sua aplicação transcende os limites da física.

Para um sistema em equilíbrio assumindo valores discretos de energia, com temperatura, número de partículas e volume fixos por reservatórios, a probabilidade de encontrá-lo num micro-estado particular é dada por:

sendo a energia do microestado e a função de partição do sistema, definida por

Fora da física, o formalismo canónico é amplamente utilizado, sendo aplicado, por exemplo, para prever teoricamente a distribuição da rendas da observação de Pareto de que as rendas altas se distribuem de acordo com uma lei potencial inversa. A evidência indica que as rendas altas de diversos lugares dos Estados Unidos se encontram em equilíbrio termodinâmico.

Apresentação física do problema

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Imagine-se que se tem um sistema físico em contacto com um banho térmico. Isto quer dizer que está em contacto com uma grande massa a uma temperatura dada, e pelo princípio zero da termodinâmica tenderemos portanto o sistema em equilíbrio termodinâmico com o banho. Nestas condições, a energia não está totalmente determinada, senão que é uma variável aleatória que pode tomar uma série de valores. Desta forma, só podemos falar de probabilidade de que o sistema adopte uma energia determinada em função desta temperatura.

O fator de Boltzmann

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Demonstra-se que a probabilidade de que um sistema a temperatura T esteja numa configuração de energia E é proporcional ao fator de Boltzmann:

 

onde

  é a probabilidade buscada
  é a energia cuja probabilidade se está a procura
  é a constante de Boltzmann
  é a temperatura.

A constante   não é mais que uma constante de normalização imposta para que a soma das probabilidades de todos os estados seja um. Define-se trivialmente como:

 

onde   é um índice mudo que recorre todos os estados possíveis do sistema com um número de partículas, volume e temperatura dadas.

A função de partição canónica

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A constante de normalização   recebe o nome de função de partição canónica ou simplesmente de função partição. Esta é uma função matemática da temperatura, em número de partículas e o volume. Pode-se demonstrar a fórmula seguinte, que relaciona a mecânica estatística com a termodinâmica no conjunto canónico:

 

Esta equação nos dá a energia livre de Helmholtz do sistema (uma variável de estado termodinâmica) em função das suas variáveis naturais, o que supõe um conhecimento termodinâmico exaustivo do sistema. Portanto conhecer a função de partição é resolver o problema estatístico.

Ver também

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Referências

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  • L. D. Landau and E. M. Lifshitz, "Statistical Physics, 3rd Edition Part 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996.
  • Silvio R. A. Salinas, "Introdução à Física Estatística", Edusp, 2005.
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