Controlador proporcional integral derivativo

Controlador proporcional integral derivativo, controlador PID ou simplesmente PID, é uma técnica de controle de processos que une as ações derivativa, integral e proporcional, fazendo assim com que o sinal de erro seja minimizado pela ação proporcional, zerado pela ação integral e obtido com uma velocidade antecipativa pela ação derivativa.

É baseado na resposta de uma malha de processo industrial a ser controlada.

Na prática os PID são encontrados no interior de controladores eletrônicos chamados "single-loop", muitas vezes com microprocessadores, e também através de Controladores programáveis e outros equipamentos de controle.

Os controladores contínuos podem controlar os processos de três formas distintas:

• Controle Proporcional (P);

• Controle Integral (PI);

• Controle Derivativo (PD);

Estes três modos de controle são também designados de ações de controle, cada uma delas reagindo de forma distinta ao erro presente nos sistemas e consequentemente minimizando a variação de erro. O controle proporcional ajusta a variável de controle de forma proporcional ao erro. O controle integral ajusta a variável de controle baseando-se no tempo em que o erro acontece. O controle derivativo ajusta a variável de controle tendo como base a taxa de variação do erro. A combinação destes tipos de controle forma o controlador conhecido na indústria como PID.

Algoritmo PID

Definindo $u(t)$ como o sinal de saída, o algoritmo PID pode ser definido por:

$\mathrm {u} (t)=K_{p}{e(t)}+K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }+K_{d}{\frac {de(t)}{dt}}$

onde

$K_{p}$: Ganho Proporcional

$K_{i}$: Ganho Integral

$K_{d}$: Ganho Derivativo

$e$: Erro

$t$: Tempo

$\tau$: Tempo de integração

Aplicando a transformada de Laplace, obtemos:

$L(s)=K_{p}+K_{i}/s+K_{d}s$

onde

$s$: frequência complexa.

A Ação proporcional

Variável Controlada vs tempo para diferentes valores de K_p.

A ação proporcional produz um sinal de saída que é proporcional à amplitude do erro e(t), sendo $K_{p}$ a constante de proporcionalidade:

$P_{\mathrm {saida} }=K_{p}\,{e(t)}$:

Comparado com a ação liga-desliga, esse método possui a vantagem de eliminar as oscilações do sinal de saída. Para tal, o sistema permanece sempre ligado e o sinal de saída é diferente de zero. Tendo em vista que o sinal de saída é proporcional ao erro, um erro não-nulo (conhecido por erro de off-set) é gerado. O valor do erro off-set é inversamente proporcional ao ganho $K_{p}$ e pode ser compensado adicionando-se um termo ao valor de referência ou pelo controle integral. Um ganho proporcional muito alto gera um alto sinal de saída, o que pode desestabilizar o sistema. Porém, se o ganho proporcional é muito baixo, o sistema falha em aplicar a ação necessária para corrigir os distúrbios.

Ação Integral

Variável Controlada vs tempo para diferentes valores de K_i.

A ação integral produz um sinal de saída que é proporcional à magnitude e à duração do erro, ou seja, ao erro acumulado. Isso fornece uma alternativa para corrigir o erro de off-set gerado pela ação proporcional e acelera a resposta do sistema, permitindo-o chegar ao valor de referência mais rapidamente. O sinal de saída do controlador PI pode ser descrito por :

$I_{\mathrm {saida} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }$:,

onde $K_{i}$ é o ganho integral.

A ação integral corrige o valor da variável manipulada em intervalos regulares, chamado tempo integral. Esse tempo integral é definido como o inverso do ganho integral. Se o ganho integral é baixo, o sistema pode levar muito tempo para atingir o valor de referência. No entanto, se o ganho integral for muito alto, o sistema pode tornar-se instável.

Ação Derivativa

Variável Controlada vs tempo para diferentes valores de K_d.

A ação derivativa produz um sinal de saída que é proporcional à velocidade de variação do erro:

$D_{\mathrm {saida} }=K_{d}{\frac {de(t)}{dt}}$:,

onde K_d é o ganho derivativo.

A ação derivativa fornece uma correção antecipada do erro, diminuindo o tempo de resposta e melhorando a estabilidade do sistema. A ação derivativa atua em intervalos regulares, chamado tempo derivativo. Esse parâmetro é inversamente proporcional à velocidade de variação da variável controlada. Isso indica que a ação derivativa não deve ser utilizada em processos nos quais o sistema deve responder rapidamente a uma perturbação, nem em processos que apresentem muito ruído no sinal de medido, pois levaria o processo à instabilidade.

Ajuste de Parâmetros

O ajuste de parâmetros do controlador PID pode ser feito manualmente ou através de métodos de optimização como o método de Ziegler-Nichols. Nesse método, os ganhos $K_{i}$ e $K_{d}$ são primeiramente ajustados para zero. Em seguida, aumentamos o ganho proporcional até que o sinal de saída começa a oscilar. Isso define um ganho crítico, $K_{u}$, e um período crítico, $T_{u}$. Os ganhos dos controladores P, PI, PID são então ajustados conforme a tabela abaixo:

Método de Ziegler–Nichols

Tipo de Controlador	$K_{p}$	$K_{i}$	$K_{d}$
P	$0.50{K_{u}}$	-	-
PI	$0.45{K_{u}}$	$1.2{K_{p}}/T_{u}$	-
PID	$0.60{K_{u}}$	$2{K_{p}}/T_{u}$	${K_{p}}{T_{u}}/8$

Tendo em vista que o ganho proporcional do controlador P é apenas a metade do ganho crítico, esse sistema possui uma boa margem de ajuste. Devido ao efeito desestabilizante da ação integral, o ganho proporcional reduz para 0.45 do ganho crítico. Contudo, o efeito estabilizante da ação derivativa permite aumentar o ganho proporcional para 0.6 do ganho crítico no controlador PID.

História do controlador PID

Em seu TCC, Felipe Fernandes França conta que desde o início da Revolução Industrial, surgiu a necessidade de controlar sistemas e processos industriais. Inicialmente, o controle manual era predominante, onde operadores habilidosos ajustavam o processo manualmente. No entanto, com a crescente automação, essa abordagem tornou-se cada vez mais desafiadora devido à complexidade dos sistemas. Isso impulsionou a busca por soluções, atraindo a atenção de acadêmicos e inventores.

Em 1788, James Watt desenvolveu o "governador centrífugo" (flyball governor), um dispositivo mecânico que regulava a velocidade de motores a vapor controlando o vapor admitido. Esse sistema pioneiro operava com um controle proporcional (P), ajustando a quantidade de vapor com base na velocidade do motor, mantendo-a constante para diferentes cargas.

No entanto, o controle proporcional sozinho não conseguia eliminar o erro em regime permanente. Em torno dos anos 1930, surgiu a ideia de adicionar uma componente integral (I) para zerar esse erro. O controlador resultante, conhecido como Proporcional-Integral (PI), resolveu parte do problema, mas também introduziu novas questões, como sobressinal máximo e oscilações excessivas.

A evolução continuou, e em 1940, a Taylor Instrument Companies lançou o primeiro controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) pneumático. A ação derivativa (D) foi introduzida para mitigar problemas do controlador PI, reduzindo o sobressinal e as oscilações. No entanto, a adoção dos controladores PID era limitada devido às dificuldades de ajuste e à tecnologia pneumática da época.

O cenário mudou em 1942 com o artigo "Optimum settings for automatic controllers" de Ziegler e Nichols. Eles apresentaram um método simplificado de sintonia, impulsionando a popularidade dos controladores PID. A ascensão dos transistores e o método de sintonia de Ziegler e Nichols marcaram o fim dos controladores pneumáticos, permitindo a criação de controladores PID eletrônicos com alta capacidade de processamento.

Hoje, uma variedade de métodos de sintonia e tecnologias de implementação de controladores PID está disponível. Muitos estão integrados a controladores lógicos programáveis, oferecendo sintonia automática e segura, como o método do relé. Esses avanços transformaram os controladores PID em uma ferramenta indispensável para controlar sistemas e processos complexos em várias indústrias.(FELIPE FERNANDES FRANÇA, 2018).