Cubo de Cantor

Em matemática, mas especificamente em topologia geral, o cubo de Cantor é a generalização do conjunto ternário de Cantor.

Definição

Denotemos por $D$ o subspaço $\{0,1\}$ da reta real. Dado um cardinal $\kappa \geq \omega$, definimos por cubo de Cantor de peso $\kappa$ o espaço $D^{\kappa }$, com a topologia produto; isto é o produto $\Pi _{s\in S}D_{s}$, tal que a cardinalidade de $S$ é $\kappa$ e, para todo $s\in S,\,D_{s}=D$.

Em especial, $D^{\omega }$ é o conjunto ternário de Cantor.

Propriedades

• Como $D$ é fechado e limitado, e portanto compacto, segue que, para qualquer $\kappa$, $D^{\kappa }$ é compacto.

• Para qualquer $\kappa$, o peso de $D^{\kappa }$ é $\kappa$.

• Para qualquer $\kappa$ e qualquer $x\in D^{\kappa }$, o carácter de tal ponto é $\kappa$.

• Para qualquer $\kappa$, $D^{\kappa }$ é zero- dimensional.

• Para qualquer $\kappa$, $D^{\kappa }$ é um espaço universal para qualquer espaço zero-dimensional.

Referencias

• Rysxard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.