Imagem ilustrando a construção da curva de Agnesi

Em matemática, a curva de Agnesi, atribuída a Maria Gaetana Agnesi, é uma curva estudada por Agnesi em 1748 no seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. A curva tem a seguinte descrição:

Fixada uma circunferência, toma-se um ponto O nela. De qualquer outro ponto A da circunferência, traça-se a secante OA. Seja M o ponto diametralmente oposto a O. A intersecção entre a reta OA e a reta tangente à circunferência no ponto M é o ponto N. Por A, traça-se uma reta paralela a MN, e por N uma reta paralela a OM. Seja P a interseção entre essas duas retas. O caminho que P faz ao variarmos A é a chamada curva de Agnesi.

EquaçãoEditar

 
Animação da construção da curva de Agnesi

Dado o círculo com raio  , considerando o ponto O na origem, a curva de Agnesi pode ser descrita pela seguinte equação:

 

Quando  , a equação fica da seguinte forma:

 

Equações paramétricasEditar

A equação paramétrica da curva, considerando o ângulo   entre OM e OA, é

 

ou ainda, no caso de   sendo o ângulo entre OA e o eixo x, a equação paramétrica fica:

 

Uma terceira parametrização, que utiliza apenas funções algébricas, consiste em:

 

PropriedadesEditar

  • A área entre a curva de Agnesi e sua assíntota ( ) é quatro vezes a área do círculo fixado, (ou seja,  ). Particularmente, para  , a área embaixo da curva é igual a  .
  • O volume de revolução da curva em torno de sua assíntota é de  .

História e nome da curvaEditar

A curva de Agnesi foi estudada por Pierre de Fermat em 1666, Guido Grandi em 1701, e por Maria Agnesi in 1748.

Em diversas línguas, a curva de Agnesi é chamada "Bruxa de Agnesi", devido a um erro de tradução. John Colson, professor de matemática em Cambridge, que havia aprendido italiano apenas para traduzir a obra de Agnesi para o inglês, ao invés de ler la versiera di Agnesi, que significa curva de Agnesi, leu l'avversiera di Agnesi, onde l'avversiera significa bruxa. Desde então, em muitas línguas a curva recebeu esse nome.


Referências