Deformação transversal

Equação de deformação unitária

Para um prisma mecânico de seção constante A, a deformação unitário é uma função $\omega (y,z)\;$ definida sobre esta seção transversal, que é solução do seguinte problema de Von Neumann:

${\begin{cases}{\cfrac {\partial ^{2}\omega }{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\omega }{\partial z^{2}}}=0&\forall (y,z)\in A\\\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\omega ={\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d}{d{\bar {s}}}}\left[(y-y_{C})^{2}+(z-z_{C})^{2}\right]&\forall (y,z)\in \partial A\end{cases}}$ [1]

Onde:

${\bar {s}}$ é o comprimento ao longo do contorno da peça e $\mathbf {n}$ a normal exterior ao mesmo.

$(y_{C},z_{C})\;$ são as coordenadas do centro de cortante.

${\begin{cases}\sigma _{xx}={\frac {2G}{(1-2\nu )}}\left[(1-\nu )\varepsilon _{xx}+\nu (\varepsilon _{yy}+\varepsilon _{zz})\right]=0\\\sigma _{xy}=G\left[{\partial u_{x} \over \partial y}+{\partial u_{y} \over \partial x}\right]=G\left[{\frac {\partial \omega }{\partial y}}-\left(z-z_{C}\right)\right]{\frac {d\theta _{x}}{ds}}\\\sigma _{xz}=G\left[{\partial u_{x} \over \partial z}+{\partial u_{z} \over \partial x}\right]=G\left[{\frac {\partial \omega }{\partial z}}+\left(y-y_{C}\right)\right]{\frac {d\theta _{x}}{ds}}\end{cases}}{\tilde {}}$

O equilíbrio de forças sobre o eixo longitudinal da peça prismática ou viga requer que:

${\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}=0$

Onde se tenha substituído as equações [3] em [4] se chega precisamente a equação da deformação unitária [1].

Solução para a equação de deformação unitária

Pode se demonstrar que a solução da anterior equação pode ser encontrada facilmente introduzindo uma função de deformação auxiliar relacionada com a anterior e com as coordenadas (y_C, z_C) do centro de cortante. A função auxiliar $\omega _{0}(x,y)\;$ satisfaz a equação:

${\begin{cases}{\cfrac {\partial ^{2}\omega _{0}}{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\omega _{0}}{\partial z^{2}}}=0&\forall (y,z)\in A\\\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\omega _{0}={\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d}{d{\bar {s}}}}\left(y^{2}+z^{2}\right)&\forall (y,z)\in \partial A\end{cases}}$

Em termos desta função auxiliar se pode encontrar tanto a função de deformação como as coordenadas do centro de cortante:

$\omega (y,z)=\omega _{0}(y,z)-z_{C}y+y_{C}z\qquad y_{C}={\frac {I_{z}I_{y{\bar {\omega }}}-I_{yz}I_{z{\bar {\omega }}}}{I_{z}I_{y}-I_{yz}^{2}}}\qquad z_{C}={\frac {I_{y}I_{z{\bar {\omega }}}-I_{yz}I_{y{\bar {\omega }}}}{I_{z}I_{y}-I_{yz}^{2}}}$

Onde $I_{y},I_{z},I_{yz}\,$ são os momentos de área e o produto de inércia. E onde $I_{y{\bar {\omega }}},I_{z{\bar {\omega }}}\,$ são os produtos de inércia setoriais definidos como:$I_{y{\bar {\omega }}}=\int _{A}z\omega _{0}(y,z)\ dydz\qquad I_{z{\bar {\omega }}}=\int _{A}y\omega _{0}(y,z)\ dydz$

Exemplos de deformações seccionais

Em geral se uma seção não é circular ou circular oca (tubular) apresentará deformação seccional diferente de zero. Isto pode provar-se rigorosamente calculando a deformação seccional de uma seção elíptica, que depende da diferença de quadrados dos comprimentos dos semi-eixos, se estes são iguais como ocorrem em um círculo a função de deformação se anula.

No caso geral a seção de deformação é complicada e requer resolver um problema de Von Neumann. Para alguns casos simples quando a seção é maciça e o contorno é expresso por uma função de tipo f(y, z) = 0 sendo o laplaciano de f constante o problema de buscar a função de deformação pode simplificar-se notavelmente mediante a função de Prandtl, já que desta função basta encontrar-se uma função de Prandtl que se anule sobre o contorno. Isto é precisamente o que ocorre com as seções elíptica e triangular, entretanto com seções mais complexas como uma seção retangular o cálculo é mais complicado.

Deformação unitária de uma seção triangular

Em uma seção triangular equilátera qualquer das três alturas do triângulo constitui um eixo de simetria, pelo que para uma seção triangular equilátera o centro de cortante coincide com o centro geométrico ou baricentro do triângulo. A função de deformação considerando coordenadas (y, z) com a origem de coordenadas sobre o centro geométrico é dada por:

$\omega (y,z)=-{\frac {3z^{2}y-y^{3}}{2h}}$

Onde temos considerado que um dos lados é paralelo ao eixo Y, y h é a altura do triângulo.

Deformação unitário de uma seção elíptica

Em uma seção elíptica existem dois eixos de simetria, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor, o que implica que o centro de cortante coincide com o centro geométrico da seção. Tomando coordenadas da seção (y, z) com origem no centro geométrico da seção a função de deformação unitário é dada por:

$\omega (y,z)=-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}yz$

Onde a e b são, respectivamente, os comprimentos do semi-eixo maior e o semi-eixo menor da elipse. Pode se ver que no caso particular de um círculo de raio r (onde a = b = r) a deformação seccional unitária é nula, em consonância com a teoria da torsão de Saint-Venant para seções circulares.

Deformação unitária de uma seção retangular

Em uma seção retangular, onde o centro de cortante coincide com o centro geométrico, a função de deformação pode ser calculada em termos da função de Prandtl que por sua vez ppde ser obtida por integração de Laplace mediante separação de variáveis:

${\begin{cases}{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}=z+{\cfrac {1}{G\theta }}{\cfrac {\partial \Phi }{\partial z}}=z+{\cfrac {8b}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\cfrac {(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{2}}}\left({\cfrac {\sinh {\frac {(2k+1)\pi z}{b}}}{\cosh {\frac {(2k+1)\pi a}{b}}}}\right)\cos {\frac {(2k+1)\pi y}{b}}\right]\\{\cfrac {\partial \omega }{\partial z}}=-y-{\cfrac {1}{G\theta }}{\cfrac {\partial \Phi }{\partial y}}=-y+{\cfrac {8b}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\cfrac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}}\left(1-{\cfrac {\cosh {\frac {(2k+1)\pi z}{b}}}{\cosh {\frac {(2k+1)\pi a}{b}}}}\right)\sin {\frac {(2k+1)\pi y}{b}}\right]\end{cases}}$

Momento de deformação

O momento de deformação é a grandeza definida pela seguinte integral:

$I_{\omega }=\int _{A}\omega ^{2}(y,z)\ dydz$

Para uma seção I ou H o módulo de deformação é dado por:

$I_{\omega }={\frac {h^{2}I_{min}}{4}}$

Onde h denota a altura total do perfil e I_min o momento de inércia mínimo.

Referências

Bibliografia

• Ortiz Berrocal, L., Elasticidad, McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.
• Monleón Cremades, S., Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.

Ligações externas

• Análise de torção - Wolfram Applications (em inglês)