Discussão:Axiomas de Hilbert
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O livro de Hilbert (em alemão) nunca teve 21 axiomas editar
A edição de 1899, p. 6, tem o "Teorema de Pasch", como "Axioma II, 4", de modo que o grupo II de axiomas tem 5 axiomas (pp. 6 e 7): http://ia700305.us.archive.org/16/items/festschriftzurf00wiecgoog/festschriftzurf00wiecgoog.pdf e o grupo V tem somente o axioma arquimedeano, que Hilbert chama também de continuidade, na p. 19. A segunda edição alemã, de 1903, http://archive.org/stream/grundlagenderge00hilbgoog#page/n6/mode/2up tira o teorema de Pasch, na p. 4 e o grupo II fica com só 4 axiomas. Mas o grupo V incorpora na p. 16 o axioma de completude (Axiom der Vollständigkeit). Em síntese, a edição de 1899 tem 20 axiomas. A de 1903 tira um e acrescenta um, e também tem 20.
A edição primeira francesa dos elementos de geometria, de 1900 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996866/f14.image.r=principes%20geometrie%20hilbert.langFR tem 21 axiomas, pois o grupo II, na p. 9 tem 5 axiomas, mas acrescenta, no p. 25, o axioma de completude, que denomina axiome d'intégrité colocando Vollständigkeit entre parênteses. Sem esse último axioma (como na edição de 1899) não pode ser demonstrado no sistema que um segmento entre um ponto interior a um círculo e um exterior tem um ponto em comum com a circusferência (interseta a circunsferẽncia). Esse axioma é metateórico pois fala dos outros axiomas e dos domínios que satisfazem os axiomas.
--Carlos Gonzalez (discussão) 03h20min de 28 de abril de 2013 (UTC)