Equação de Kadomtsev–Petviashvili

Em matemática e física, a equação de Kadomtsev–Petviashvili – ou equação de KP, nomeadas em homenagem a Boris Borissovitch Kadomtsev e Vladimir Iosifovich Petviashvili – é uma equação diferencial parcial que descreve o movimento não-linear de ondas. A equação de KP é geralmente escrita como:

Cruzamento de swells, que consiste de trens de onda quase cnoidais. A interação de tais quase sólitons em águas rasas podem ser modeladas através da equação de Kadomtsev–Petviashvili.

$\displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0$

onde $\lambda =\pm 1$. A expressão acima mostra que a equação de KP é a generalização de duas dimensões espaciais, x e y, da equação unidimensional da equação de Korteweg–de Vries. Para ter algum significado físico, a direção de propagação da onda tem que ser não muito longe da direção x, ou seja, apenas com variações lentas de soluções no sentido y.

Assim como a equação de KdV, a equação de KP é completamente integrável. Ela pode ser resolvida utilizando transformada inversa de espalhamento de modo semelhante a equação de Schrödinger não linear.

História

Boris Kadomtsev.

A equação de KP foi escrita pela primeira vez em 1970 pelos físicos soviéticos Boris Kadomtsev (1928–1998) e Vladimir I. Petviashvili (1936–1993); ela veio como uma generalização natural da equação de KdV (derivada por Korteweg e De Vries em 1895). Enquanto as ondas da equação de KdV são estritamente unidimensionais, na equação de KP essa restrição é relaxada. Mesmo assim, em ambas equações as ondas devem viajar no sentido positivo da direção x.

Conexões com a física

A equação de KP pode ser usada para modelar ondas de água de comprimento de onda grande com forças restauradoras e frequências de dispersão porco fracamente não lineares. Se a tensão superficial é fraca em comparação com forças gravitacionais, $\lambda =+1$ é utilizado; se a tensão superficial é forte, então $\lambda =-1$. Devido à assimetria no modo de que x e y entram na equação, as ondas descritas pela equação de KP se comportam diferentemente na direção de propagação (direção x) e na direção transversa (y); oscilações na direção y tendem a ser mais suaves.

A equação KP também pode ser utilizado para modelar ondas em meios ferromagnéticos, bem como pulsos bidimensionais de onda de matéria em condensados de condensado de Bose-Einstein.

Valores limites

Para $\epsilon \ll 1$, oscilações típicas dependentes de x possuem comprimento de onda de $O(1/\epsilon )$ dando origem a um regime limite singular $\epsilon \rightarrow 0$. O limite $\epsilon \rightarrow 0$ é chamado de limite não dispersivo.

Se também assumirmos que as soluções são independentes de y como $\epsilon \rightarrow 0$, então ela também satisfaz a equação de Burgers:

$\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.$

Supondo que a amplitude de oscilações de uma solução é assintoticamente pequena — $O(\epsilon )$ — no limite não dispersivo, então a amplitude satisfaz a equação de campo médio do tipo Davey–Stewartson.

Referências

• B. B. Kadomtsev, V. I. Petviashvili (1970). «On the stability of solitary waves in weakly dispersive media». Sov. Phys. Dokl. 15: 539–541. Bibcode:1970SPhD...15..539K . Tradução de «Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах». Doklady Akademii Nauk SSSR. 192: 753–756 
• Previato, Emma (2001), «K/k120110», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Kadomtsev–Petviashvili equation» (em inglês). MathWorld 
• Kadomtsev–Petviashvili equation at Scholarpedia, curadoria por Gioni Biondini e Dmitri Pelinovsky.
• Bernard Deconinck. «The KP page». University of Washington, Department of Applied Mathematics. Consultado em 9 de julho de 2014. Arquivado do original em 6 de fevereiro de 2006