Equação integral de Volterra

Em matemática, uma equação integral de Volterra é um tipo especial de equação integral. Tais equações são divididas em dois grupos, referenciados como do primeiro e do segundo tipo.

Uma equação de Volterra do primeiro tipo é expressa na forma

$f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds,$

enquanto uma equação de Volterra do segundo tipo é dada por

$x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.$

Na teoria dos operadores e na teoria de Fredholm, as equações correspondentes são denominadas operadores de Volterra. Uma equação integral de Volterra é uma convolução, se

$x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(t-s)x(s)\,ds.$

A função $K$ na integral é denominada núcleo (em inglês: kernel). Tais equações podem ser analisadas e resolvidas utilizando transformadas de Laplace.

As equações integrais de Volterra foram introduzidas por Vito Volterra, e então estudadas por Traian Lalescu em sua tese de doutorado 1908, Sur les équations de Volterra, sob orientação de Charles Émile Picard. Lalescu escreveu em 1911 o primeiro livro sobre equações integrais.

Bibliografia

• Traian Lalescu, Introduction à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard, Paris : A. Hermann et Fils, 1912. VII + 152 pp.
• Volterra Integral Equation of the First Kind at MathWorld
• Volterra Integral Equation of the Second Kind at MathWorld
• Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations