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Máximo divisor comum: diferenças entre revisões

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O '''máximo divisor comum''' (abreviadamente, '''MDC''') entre dois ou mais [[números inteiros]] é o maior número inteiro que é [[factorização|fator]] de tais números.<ref name="viana.71">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_83|p. 71]].</ref> Por exemplo, os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6, logo mdc(12,18)=6. A definição abrange qualquer número de termos, por exemplo mdc(10,15,25,30)=5. O máximo divisor comum também pode ser representado só com [[parênteses]]. Com esta notação, dizemos que dois números inteiros ''a'' e ''b'' são primos entre si , se e somente se mdc(''a'', ''b'')=1.
 
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir [[equação|equações]] a outras equivalentes:
 
Seja <math>m</math> o '''máximo divisor comum''' entre <math>a</math> e <math>b</math>, e <math>a'</math> e <math>b'</math> o resultado da divisão de ambos por <math>m</math>, respectivamente.
 
Então, o seguinte é verdadeiro:
 
# <math>[i] a=b \iff 1\cdot a=b\ \iff \frac{m}{m}\cdot a=b \iff m\cdot \frac{a}{m}=b \iff \frac{a}{m}\cdot m=b \iff \frac{a}{m} = \frac{b}{m}</math>
# <math>[ii] \frac{a}{m}=a'</math>
# <math>[iii] \frac{b}{m}=b'</math>
# <math>[i]\rightarrow([ii]\and[iii]) \therefore a=b \iff \frac{a}{m} = \frac{b}{m} \iff a'=b'</math>
 
No contexto da [[teoria dos anéis]], um '''máximo divisor comum''' é definido de forma análoga: ele é um elemento ''m'' que divide ''a'' e ''b'', e tal que qualquer outro divisor ''x'' comum de ''a'' e ''b'' é um divisor de ''m''. Nem sempre existe um máximo divisor comum, e nem sempre ele é único.
 
== Propriedades ==
* Se ''b'' > 0 é um divisor de ''a'', então (''a'', ''b'') = ''b''.<ref name="viana.72">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_84|p. 72]].</ref>
* O máximo divisor comum ou MDC é uma operação [[associativa]]: (''a'',(''b'',''c''))=((''a'',''b''),''c'')=(''a'',''b'',''c'');
* Tem-se (''a'',''b''). [''a'',''b'']=''ab'', onde [''a'',''b''] representa o [[mínimo múltiplo comum]];
* O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum verificam as seguintes propriedades [[distributiva]]s:
*:(''a'', [''b'',''c''])=[(''a'',''b''),(''a'',''c'')]
*:[''a'',(''b'',''c'')]=([''a'',''b''], [''a'',''c'']);
* (''ca'',''cb'')=''c''(''a'',''b'');
* Se ''d''=(''a'',''b''), então existem inteiros ''x'' e ''y'' tais que ''d''=''ax''+''by'';
* Se ''ax''+''by''=1, então (''a'',''b'')=1;
* Se ''c''>0 e ''a'' e ''b'' são divisiveisdivisíveis por c então: (''a/c'',''b/c'') = 1/''c''*(''a'',''b'');
* Se ''a'' e ''b'' são inteiros e ''a''=''q*b'' + ''r'' onde ''q'' e ''r'' são inteiros, então:
(''a'',''b'')=(''b'',''r'').
 
== Determinação do máximo divisor comum ==
Há duas formas de determinar o máximo divisor comum de dois números:
 
# A primeira é fatorar os números e a partir daí, pegar os fatores comuns a todos números e deixá-los com o menor expoente que o fator analisado apresentar entre todos os números..<ref name="viana.77">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_89|p. 77]].</ref>
 
# Exemplo:
#: Achemos o MDC de 30 e 12. Note que: <math>30 = 2 \times 3 \times 5</math> e <math>12=3 \times 2^2</math>, então <math>(30,12) = 2 \times 3 </math> (fatores comuns aos números e o menor expoente do fator. No caso do 2 tínhamos expoentes 1 e 2, mas pegamos o menor, daí ficou só 2 e não 2 ao quadrado).
# A segunda consiste em escrever os dois números, separados por um traço vertical; em seguida, compara-se os números, e em baixo do maior deles coloca-se a diferença entre os dois. Agora compara-se o último número que se escreveu, com o que ficou na outra coluna, repetindo-se o processo até que se obtenha igualdade entre os números nas duas colunas, que é o resultado procurado.<ref name="viana.73">Vianna (1914), [[s:Elementos de Arithmetica/Capítulo 2#Item_85|p. 73]]</ref>
 
=== Algoritmo de Euclides ===
{{artigo principal|[[Algoritmo de Euclides]]}}
 
O algoritmo de Euclides consiste em efectuar divisões sucessivas entre dois números até obter resto zero. O máximo divisor comum entre os dois números iniciais é o último resto diferente de zero obtido. Este método não requer qualquer [[factorização]]..
 
=={{ Ver também}} ==
* [[Fatorização]]
* [[Número primo]]
* [[Algoritmo de Euclides]]
* [[Mínimo múltiplo comum]]
 
== Notas ==
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* {{Citar livro|nome=João José Luiz|sobrenome=Vianna|título=[[s:Galeria:Elementos de Arithmetica|Elementos de Arithmetica]]|edição=15|local=Rio de Janeiro|editora=Francisco Alves|ano=1914}}
 
=={{ Ligações externas}} ==
{{Wikilivros|Teoria de números|Máximo divisor comum}}
*{{Link||2= [http://www.leonel.profusehost.net/maxdivc.htm |3=Calculadora on-line do máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros.}}]
*{{Link||2= [http://gcd.awardspace.com/index_pr.php |3=A calculadora on-line GCD. (4 métodos)}}]
 
{{Portal3|Matemática}}
 
{{DEFAULTSORT:Maximo Divisor Comum}}
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