Endomorfismo: diferenças entre revisões

{{SobreVer desambig|este=o conceito matemático |Para o ‘’’endomórfico ’’’ tipo de corpo '''endomórfico'''|Somatotiposomatótipo}}

Em [[matemática]], um '''endomorfismo''' é um [[morfismo]] (ou [[homomorfismo]]) de um [[objeto matemático]] para elenele mesmo. Por exemplo, um endomorfismo de um [[espaço vetorial]] ''V'' é uma [[transformação linear]] ƒ{{nowrap|''f'':  ''V''  →  ''V''}}, e um endomorfismo de um [[Grupo (matemática)|grupo]] ''G'' é um [[homomorfismo de grupos]] ƒ{{nowrap|''f'':  ''G''  →  ''G''}}. NoEm geral, nós podemospode-se falar endomorfismode endomorfismos em qualquer [[teoria das categorias|categoria]]. Na categoria dos [[conjunto]]s, endomorfismos são funções simples de um conjunto ''S'' nele mesmo.

NaEm qualquer categoria, a [[composição de funções|composição]] de dois endomorfismos quaisquer de ''X'' é novamente um endomorfismo de ''X''. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de ''X'' forma um [[monoide]], denotado FinalEnd(''X'') (ou FinalEnd_''C''(''X'') para enfatizar a categoria ''C'').

| alignstyle="text-align: center"; width=": 42%;" | [[automorfismo]]

| alignstyle="text-align: center"; width=": 16%;" | <math>\Rightarrow</math>⇒

| alignstyle="text-align: center"; width=": 42%;" | [[isomorfismo]]

| alignstyle="text-align: center;" | <math>\Downarrow</math>⇓

| alignstyle="text-align: center;" | <math>\Downarrow</math>⇓

| alignstyle="text-align: center;" | endomorfismo

| alignstyle="text-align: center;" | <math>\Rightarrow</math>⇒

| alignstyle="text-align: center;" | [[homomorfismo|(homo)morfismo]]

QualquerQuaisquer dois endomorfismos de um [[grupo abeliano]] ''A'' podepodem ser adicionadoadicionados juntoconforme àa regra {{nowrap|1=(ƒ&nbsp;''f'' +&nbsp; ''g'')(''a'')&nbsp; =&nbsp;ƒ ''f''(''a'')&nbsp; +&nbsp; ''g''(''a'')}}. Sob esta adição, oos endomorfismoendomorfismos de um grupo abeliano formaformam um [[anel (matemática)|anel]] (o endomorfismo[[anel de anelendomorfismos]]). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de '''Z'''^''n'' é o anel de todostodas as matrizes {{nowrap|''n''&nbsp; ×&nbsp; ''n'' matrizes}} com entradas inteiras. Os Oendomorfismos endomorfismode doum espaço vetorial ou [[Módulo (álgebra)|modulo]] também formaformam um anel, comodo fazmesmo omodo endomorfismoque os endomorfismos de qualquer objeto em um categoria preadditivepré-aditiva. Os O endomorfismoendomorfismos de um grupo não abeliano gerageram uma estrutura algebrica conhecida como um nearring[[quase anel]]. Todo anel com umunidade, é um endomorfismoanel de anelendomorfismos dade suaseu representaçãomodulo regular, e entãocomo tal é um subanel de um endomorfismoanel de anelendomorfismos de um grupo abeliano,<ref>Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.</ref> no entanto há anéis que não são um endomorfismoanel de anelendomorfismos de qualquernenhum grupo abeliano.

==Teoria dos Operadoresoperadores==

Em qualquer [[categoria concreta]], especialmente paraem [[Espaçoespaço vetorial|espaços vetoriais]], endomorfismos são mapasaplicações de um conjunto para elenele mesmo, e podepodem ser interpretadointerpretados como [[Operaçãooperação unária|operadores unários]] neste conjunto, [[Ação (matemática)|atuaçãoagindo]] nos elementos, e permitindo definir a noção de [[Ação (matemática)|orbitaórbita]]s de elementos, etc.

Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em que estamos tratandoquestão ([[Topologia (matemática)|Topologiatopologia]], [[Métrica (matemática)|métrica]], ...), tais operadores podem ter propriedades como [[Função contínua|Continuidadecontinuidade]], [[Função limitada|ser limitada]] e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre [[Teoriateoria dos operadores]].

== Endofunções na Matemática ==

Na [[Matemática]], umaUma '''endofunção''' é uma [[Função (matemática)|função]] cujo [[ContradomínioDomínio (matemática)|domínio]] é igual ao seu [[domíniocontradomínio]]. Uma endofunção [[Homomorfismo|homórficahomomórfica]] é um endomorfismo.

TomeSeja “S”''S'' como um conjunto arbitrário. Entre as endofunções emde “S”''S'' encontramos [[Permutaçãopermutação|permutações]] de “S”''S'' e funções constantes associadasassociando a cada <math>x\in S</math> vistoum quecerto <math>c\in S.</math> Cada permutação de ''S'' tem o contradomínio igual ao seu domínio, e é [[Função bijectiva|bijetiva]] e inversível. Uma função constante em ''S'', se ''S'' tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetiva (e não é invertível). A função que associa a cada inteiro natural ''n'' o [[Parte inteira|piso]] de ''n''/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não é invertível.

Endofunções finitas são equivalentes a dígrafos[[Pseudofloresta|pseudoflorestas monogêneos, isto é, dígrafos que tem todos os nós sem graus iguais a um, e podem ser facilmente descritosorientadas]]. Para conjuntos de tamanho ''n'', existem ''n^''<sup>''n''<sup> endofunções no conjunto.

EndofunçõesUm particularstipo particular de endofunções bijetivas são as [[Involução (matemática)|involuções]], isto é, as funções que coincidem com suas inversas.