Número quadrado: diferenças entre revisões
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Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o [[critério de Eisenstein]] de [[fatoração de um polinômio|irreducibilidade de um polinômio]].
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Olhando para os exemplos podemos induzir algumas previsões, que requerem prova rigorosa.
"Todo ''quadrado perfeito'' par, tem raiz par": 4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).
''PROVA'': Suponhamos ''Q'' um "quadrado perfeito" (existe ''X'' inteiro tal que ''X''<sup>2</sup>=''Q'') que seja número par, ou seja, existe um inteiro ''k'' tal que ''Q''=2''k''. Assim temos ''X''<sup>2</sup>=2''k''; logo a raiz de ''Q'' (ou seja ''X'') é dada por <math>X=\sqrt{2k}</math>. Como trata-se de uma relação de inteiros, ''2k'' precisa ser também um quadrado perfeito, logo ''2k'' é um inteiro, e para que seja um quadrado perfeito requer ''k''=2y^2, ou seja, <math>X=\sqrt{4y^2}=2y</math>, portanto um número par.
"Todo ''quadrado perfeito'' impar, tem raiz impar": 1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).
''PROVA'': como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.
As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da [[calculadora|calculadora eletrônica]], e ajudavam a conhecer de antemão que certos números não são quadrados perfeitos. [http://almanaque.info/raizes.htm]
"Todo número terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito": basta avaliar os exemplos acima e outros mais.
''PROVA'': o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o producto de dois números iguais.
"Todo número par que não for divisível por 4, não é quadrado perfeito": 2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.
''PROVA'': Todo o número par é divisível por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2 x 2 = 4.
== Referências ==
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