Lei zero-um de Kolmogorov: diferenças entre revisões

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Em [[Teoria das probabilidades|teoria da probabilidade]], a lei zero-um de Kolmogorov, nomeada em homenagem a [[Andrei Kolmogorov]], especifica que um certo tipo de [[Evento (teoria das probabilidades)|evento]], chamado de ''evento de cauda'', [[quase certamente]] acontecerá ou quase certamente não acontecerá, isto é, a [[probabilidade]] de que este evento aconteça é zero<math>0</math> ou um<math>1</math>.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&id=IvSSLeXpq3sC|título=Probability Theory: An Analytic View|ultimo=Stroock|primeiro=Daniel W.|data=2010-12-31|editora=Cambridge University Press|lingua=en|isbn=9781139494618}}</ref>
 
Eventos de cauda são definidos em termos de [[Sequência (matemática)|sequências]] infinitas de [[Variável aleatória|variáveis aleatórias]]. Suponha que
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seja uma sequência infinita de variáveis aleatórias [[Independência (estatística)|independentes]] (não necessariamente distribuídas identicamente). Considere <math>\mathcal{F}</math> a [[Sigma-álgebra|σ-álgebra]] gerada por <math>X_i</math>. Então, o '''evento de cauda <math>F \in \mathcal{F}</math>''' é um evento probabilisticamente independente de cada subconjunto finito destas variáveis aleatórias. Note que a pertinência de <math>F</math> a <math>\mathcal{F}</math> implica que a pertinência a <math>F</math> é unicamente determinada pelos valores de <math>X_i</math>, mas que a última condição é estritamente mais fraca e insuficiente para provar a lei zero-um. Por exemplo, o evento para o qual a sequência converge e o evento para o qual sua soma converge são ambos eventos de cauda. Em um sequência infinita de cara ou coroa, uma sequência de 100 caras consecutivas ocorrendo infinitamente muitas vezes é um evento de cauda.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&lr=&id=EPeJ-yJR_w4C|título=Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises|ultimo=Brzezniak|primeiro=Zdzislaw|ultimo2=Zastawniak|primeiro2=Tomasz|data=2000-07-26|editora=Springer Science & Business Media|lingua=en|isbn=9783540761754}}</ref>
 
Em muitas situações, pode ser fácil aplicar a lei zero-um de Kolmogorov para mostrar que um evento tem probabilidade <math>0</math> ou <math>1</math>, mas surpreendentemente difícil determinar qual destes dois valores extremos é o correto.
 
== Formulação ==
Uma afirmação mais generalizada da lei zero-um de Kolmogorov se aplica a sequências de &sigma;-álgebras independentes. Considere <math>(&\Omega;, ''F'', ''P'')</math> um [[espaço de probabilidade]] e ''F''<submath>''n''F_n</submath> uma sequência de sigmas-álgebras mutuamente independentes contida em ''<math>F''</math>. Considere
:<math>G_n=\sigma\bigg(\bigcup_{k=n}^\infty F_k\bigg)</math>
a menor &sigma;-álgebra contendo ''F''<submath>''n''F_n</submath>, ''<math>F''</math><sub>''n''+1</sub>, &hellip;. Então, a lei zero-um de Kolmogorov afirma que para qualquer evento
:<math>F\in \bigcap_{n=1}^\infty G_n</math>
haverá ''<math>P''(''F'') = 0</math> ou <math>1</math>.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.co.uk/books?hl=pt-BR&id=Fjr0P25SUbYC|título=A First Look at Rigorous Probability Theory|ultimo=Rosenthal|primeiro=Jeffrey S.|data=2000-01-01|editora=World Scientific|lingua=en|isbn=9789810243227}}</ref>
 
A afirmação da lei em termos de variáveis aleatórias é obtida a partir da última ao considerar cada ''F''<submath>''n''F_n</submath> a &sigma;-álgebra gerada pela variável aleatória ''X''<submath>''n''X_n</submath>. Então, um evento de cauda é, por definição, um evento mensurável no que diz respeito às &sigma;-álgebras gerada por todos os ''X''<submath>''n''X_n</submath>, mas independente de qualquer número finito de ''X''<submath>''n''X_n</submath>''. Isto é, um evento de cauda é precisamente um elemento da intersecção <math>\textstyle{\bigcap_{n=1}^\infty G_n}</math>.
 
==Exemplos==