Wikipédia

Teorema fundamental da álgebra: diferenças entre revisões

Explorar interativamente o histórico
← Ver a alteração anteriorVer a alteração posterior →
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
VisualTexto wiki
VolkovBot (discussão | contribs)
Robôs
277 687 edições
LijeBot (discussão | contribs)
Robôs
217 100 edições
clean up, Replaced: [[categoria: → [[Categoria: (2)
Linha 1:
Em [[matemática]], o '''teorema fundamental da Álgebra''' afirma que qualquer polinómio <math>p(z)</math> com coeficientes complexos de uma variável e de grau <math>n</math>&nbsp;&ge;≥&nbsp;<math>1</math> tem alguma [[Raiz_%28matem%C3%A1tica%29Raiz (matemática)|raiz]] complexa. Por outras palavras, o [[Corpo_%28matem%C3%A1tica%29Corpo (matemática)|corpo]] dos [[número complexo|números complexos]] é [[Corpo_algebricamente_fechadoCorpo algebricamente fechado|algebricamente fechado]] e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação <math>p(z)=0</math> tem <math>n</math> soluções ([[Raiz_%28matem%C3%A1tica%29Raiz (matemática)|não]] necessariamente distintas).
 
O nome do teorema é hoje em dia considerado inadequado por muitos matemáticos, por não ser fundamental para a [[Álgebra]] contemporânea.
Linha 5:
== História ==
 
Peter Rothe, no seu livro ''Arithmetica Philosophica'' (publicado in 1608), escreveu que uma equação polinomial de grau <math>n</math> (com coficientes reais) ''pode'' ter <math>n</math> soluções. Albert Girard, no seu livro ''L'invention nouvelle en l'Alg&egrave;breAlgèbre'' (publicado in 1629), afirmou que uma equação polinomial de grau&nbsp;<math>n</math> tem <math>n</math> soluções, mas não disse que tais soluções eram necessariamente números complexos. Além disso, ele disse que a sua afirmação era válida «a menos que a equação seja incompleta», querendo dizer com isto que nenhum coeficiente é igual a&nbsp;<math>0</math>. No entanto, quando ele explica em detalhe o que quer dizer, torna-se claro que, de facto, ele acredita que a afirmação dele é válida em todos os casos; por exemplo, ele mostra que a equação <math>x^4=4x-3</math>, embora incompleta, tem quatro soluções: <math>1, \ 1, \ -1+i\sqrt{2} \quad e \ -1-i\sqrt{2}</math>.
 
Em 1637, Descartes escreve em ''La géométrie'' o que anos antes Harriot havia descoberto - se <math>\,\!a</math> é raiz de um polinómio, então <math>\,\!x-a</math> divide o polinómio. Descartes afirmou também que para todas as equações de grau n, podemos imaginar n raízes, mas estas podem não corresponder a quantidades reais.
Linha 28:
== Demonstrações ==
 
Todas as demonstrações do teorema envolvem [[An%C3%A1lise_matem%C3%A1ticaAnálise matemática|Análise]] ou, mais precisamente, o conceito de [[continuidade]] de uma função real ou complexa. Algumas funções também empregam derivabilidade ou mesmo funções analíticas.
 
Algumas demonstrações provam somente que qualquer polinómio de uma variável com coeficientes reais tem alguma raiz complexa. Isto basta para demonstrar o teorema no caso geral pois, dado um polinómio <math>p(z)</math> com coeficientes complexos, o polinómio <math>q(z)=p(z)\overline{p(\overline{z})}</math> tem coeficientes reais e, se <math>z_0</math> for uma raiz de <math>q(z)</math>, então <math>z_0</math> ou o seu conjugado é uma raiz de <math>p(z)</math>.
Linha 36:
:<math>|z|^n/2<|p(z)|<3|z|^n/2</math>.
 
Seguem-se demonstrações baseadas em [[An%C3%A1lise_matem%C3%A1ticaAnálise matemática|Análise]], [[Topologia_%28matem%C3%A1tica%29Topologia (matemática)|Topologia]] e [[%C3%81lgebra|Álgebra]]:
 
=== Demonstrações analíticas ===
 
Seja <math>r>0</math> tal que <math>|p(z)|>|p(0)|</math> quando <math>|z|</math>&ge;≥&nbsp;<math>r</math> e seja <math>D</math> o disco fechado de raio <math>r</math> centrado em <math>0</math>. Uma vez que <math>D</math> é compacto, a restrição a <math>D</math> de <math>|p|</math> tem um mínimo; seja <math>z_0</math> um ponto de <math>D</math> onde esse mínimo seja atingido. Então, <math>z_0</math> não pode estar situado na fronteira de <math>D</math>, pois nos pontos <math>z</math> da fronteira tem-se <math>|p(z)|>|p(0)|</math>&nbsp;&ge;≥&nbsp;<math>|p(z_0)|</math>. Logo, <math>z_0</math> está no interior de <math>D</math> e, portanto, pelo princípio do mínimo, <math>p(z_0)=0</math>. Por outra palavras, <math>z_0</math> é um zero de <math>p(z)</math>.
 
Outra demonstração analítica pode ser obtida usando o [[teorema de Liouville]]. Suponhamos com vista a um absurdo que p(z)≠0 para todo o <math>z</math> pertencente a <math>C</math>. Como <math>p(z)</math> é inteira e não tem raizes, então <math>1/p(z)</math> também é inteira.
Linha 48:
=== Demonstrações topológicas ===
[[Imagem:Tfa.svg|thumb|Quando r é suficientemente grande, ''P(z)'' dá ''n'' voltas em torno de 0, quando ''z'' percorre uma vez o círculo de raio ''r'' em torno de 0.]]
Em alternativa ao uso do teorema de Liouville na demonstração anterior, pode-se escrever <math>p(z)</math> como um polinómio em <math>z-z_0</math>: há algum número natural <math>k</math> e há números complexos <math>c_k</math>,&nbsp;<math>c_{k+1},</math>&nbsp;&hellip;…&nbsp;,&nbsp;<math>c_n</math> tais que <math>c_k</math>&nbsp;&ne;≠&nbsp;<math>0</math> e que
 
:<math>p(z)=p(z_0)+c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+</math>&nbsp;&middot;&middot;&middot;<math>+c_n(z-z_0)^n</math>.
Linha 54:
Deduz-se que se <math>a</math> for uma raiz de ordem <math>k</math> de <math>-p(z_0)/c_k</math> e se <math>t</math> for positivo e suficientemente pequeno, então <math>|p(z_0+ta)|<|p(z_0)|</math>, o que é impossível, uma vez que <math>|p(z_0)|</math> é o mínimo de <math>|p|</math> em <math>D</math>.
 
Para outra demonstração topológica, suponha-se que <math>p(z)</math> não tem zeros. Seja <math>r</math> um número real positivo tal que, quando <math>|z|=r</math>, o termo dominante <math>z^n</math> de <math>p(z)</math> domine todos os outros; posto de outro modo, tal que <math>|z|^n>|a_{n-1}z^{n-1}+</math>&nbsp;&middot;&middot;&middot;···&nbsp;<math>+a_0|</math>. À medida que <math>z</math> percorre o círculo <math>|z|=r</math> uma vez no sentido directo, <math>p(z)</math>, tal como <math>z^n</math>, dá <math>n</math> voltas em torno de <math>0</math> no sentido directo. Por outras palavras, o índice relativamente a <math>0</math> do lacete percorrido por <math>p(z)</math> é <math>n</math>. No extremo oposto, quando <math>|z|=0</math>, o lacete <math>p(z)</math> consiste somente no ponto <math>p(0)</math>, cujo índice relativamente a <math>0</math> é obviamente <math>0</math>. Se o lacete percorrido por <math>z</math> é deformado continuamente entre estes dois extremos, o caminho percorrido por <math>p(z)</math> também é continuamente deformado. Como <math>p(z)</math> não tem zeros, este caminho nunca passa por <math>0</math> à medida que vai sendo deformado, pelo que o seu índice relativamente a <math>0</math> não pode mudar. No entanto, como o índice passa de <math>n</math> para <math>0</math>, isto é absurdo. Logo, <math>p(z)</math> tem necessariamente algum zero.
 
=== Demonstração algébrica ===
Linha 65:
Resulta da segunda afirmação que, se <math>a</math> e <math>b</math> forem números reais, então há números complexos <math>z_1</math> e <math>z_2</math> tais que o polinómio <math>z^2+az+b</math> é igual a <math>(z-z_1)(z-z_2)</math>.
 
Como já foi observado, basta demonstrar que o teorema é válido para polinómios <math>p(z)</math> com coeficientes reais. O teorema pode ser demonstrado por indução relativamente ao menor inteiro não&nbsp;negativo <math>k</math> tal que <math>2^k</math> divide o grau <math>n</math> de <math>p(z)</math>. Seja <math>F</math> um corpo de decomposição de <math>p(z)</math> (visto como um polinómio com coeficientes complexos); por outras palavras, o corpo <math>F</math> contém '''C''' e há elementos <math>z_1</math>,&nbsp;<math>z_2</math>,&nbsp;&hellip;…,&nbsp;<math>z_n</math> de <math>F</math> tais que
 
:<math>p(z)=(z-z_1)(z-z_2)</math>&nbsp;&middot;&middot;&middot;&nbsp;<math>(z-z_n)</math>.
Linha 73:
:<math>q_t(z)=\prod_{1\le i<j\le n}\left(z-z_i-z_j-tz_iz_j\right)</math>.
 
Então os coeficientes de <math>q_t(z)</math> são polinómios simétricos nos <math>z_i</math> com coeficientes reais. Logo, podem ser expressos como polinómios com coeficientes reais nos polinómios simétricos elementares, ou seja, em <math>-a_1</math>,&nbsp;<math>a_2</math>,&nbsp;&hellip;…,&nbsp;<math>(-1)^na_n</math>, pelo que <math>q_t</math> tem, de facto, coeficientes ''reais''. Além disso, o grau de <math>q_t</math> é igual a <math>n(n-1)/2=2^{k-1}m(n-1)</math>, e <math>m(n-1)</math> é ímpar. Logo, pela hipótese de indução, <math>q_t</math> tem alguma raiz real; por outras palavras, <math>z_i+z_j+tz_iz_j</math> é real para dois elementos distintos <math>i</math> e <math>j</math> de {<math>1</math>,&nbsp;&hellip;…,&nbsp;<math>n</math>}. Como há mais números reais do que pares <math>(i,j)</math>, é possível encontrar números reais distintos <math>t</math> e <math>s</math> tais que <math>z_i+z_j+tz_iz_j</math> e <math>z_i+z_j+sz_iz_j</math> sejam reais (para os mesmos <math>i</math> e <math>j</math>). Consequentemente, tanto <math>z_i+z_j</math> como <math>z_iz_j</math> são números reais e, portanto, <math>z_i</math> e <math>z_j</math> são números complexos, pois são raízes do polinómio <math>z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2</math>.
 
== Corolários ==
Linha 89:
== Bibliografia ==
 
* A.-L. Cauchy, ''Cours d'Analyse de l'&Eacute;coleÉcole Royale Polytechnique, 1<sup>&egrave;reère</sup> partie: Analyse Alg&eacute;briqueAlgébrique'', 1992, &Eacute;ditionsÉditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5
 
* B. Fine e G. Rosenberger, ''The Fundamental Theorem of Algebra'', 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8
Linha 95:
* C. F. Gauss, «[http://www.fsc.edu/library/documents/Theorem.pdf New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree]», 1799
 
* C. Gilain, «Sur l'histoire du th&eacute;or&egrave;methéorème fondamental de l'alg&egrave;brealgèbre: th&eacute;oriethéorie des &eacute;quationséquations et calcul int&eacute;gralintégral», Archive for History of Exact Sciences, '''42''' (1991), 91&ndash;136
 
* E. Netto e R. Le Vavasseur, «Les fonctions rationnelles §80&ndash;88: Le th&eacute;or&egrave;methéorème fondamental», em ''Encyclop&eacute;dieEncyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliqu&eacute;esAppliquées, tome&nbsp;I, vol.&nbsp;2'', 1992, &Eacute;ditionsÉditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9
 
* R. Remmert, «The Fundamental Theorem of Algebra», em ''Numbers'', 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0
Linha 103:
* D. E. Smith, «A Source Book in Mathematics», 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4
 
* F. Smithies, «[http://www.journals.royalsoc.ac.uk/media/b220d67uql1qqmejxdf1/contributions/2/v/l/u/2vlu5pp8mdtr7cna.pdf A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra]», Notes &amp; Records of the Royal Society, '''54''' (2000), 333&ndash;341
 
* M. Spivak, ''Calculus'', 1994, Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6
Linha 111:
*C. Baltus, «D’Alembert proof of the fundamental theorem of algebra», Historia Mathematica 31 (2004) 414-428
 
[[categoriaCategoria:Teoremas de matemática|Fundamental da Álgebra, teorema]]
[[categoriaCategoria:Álgebra abstrata]]
 
[[ar:المبرهنة الأساسية في الجبر]]
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_da_álgebra"