Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder: diferenças entre revisões
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Esboço da demonstração |
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Este teorema não depende do [[axioma da escolha]].
== Esboço da demonstração ==
A ideia é construir uma bijeção ''h'' : ''A'' → ''B'', a partir das sequências geradas a partir de cada elemento de ''A'' ou ''B'' ao passar de um conjunto para o outro através da aplicação sucessiva das inversas de ''f'' e ''g''.
Ou seja, para cada elemento ''a'' de ''A'' gera-se uma função <math>a_n: I_a \subseteq \mathbb{N} \to A \cup B\,</math>, definida por ''a<sub>0</sub> = a'', ''a<sub>2n+1</sub> = g<sup>-1</sup>(a<sub>2n</sub>)'' e ''a<sub>2n+2</sub> = f<sup>-1</sup>(a<sub>2n+1</sub>)''.
Note-se que nem sempre existem ''f<sup>-1</sup>(x)'' ou ''g<sup>-1</sup>(x)''; mas, se existe, então é único.
Assim, os elementos de ''A'' podem ser classificados em três subconjuntos (cada um deles pode ser vazio): aqueles para os quais ''I<sub>a</sub>'' é infinito, aqueles para os quais ''I<sub>a</sub>'' é finito e seu maior elemento é par, e aqueles para os quais ''I<sub>a</sub>'' é finito e seu maior elemento é ímpar.
A bijeção será construída baseada nesta partição.
{{mínimo sobre|matemática}}
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