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Linha 66: A [[rotacional]] (ou '''rotor''') é o [[determinante]] entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial. :<math>\nabla \times \vec F = \sum^{~~i,j,k~~ijk} \~~epsilon_~~varepsilon_{~~i,j,k~~ijk} \cdot \hat e_i \cdot D_j \vec F_k</math> Pelo [[teorema de Laplace]] o rotor de <math>\vec F</math> no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é: Linha 109: Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade: :<math>\underbrace{\left( \sum^i~~{ \left(~~ \nabla^2 \vec F_i ~~\right) \cdot \hat e_i}~~ \right)}_{laplaciano\,vectorial} + \underbrace{\left(\nabla\times\nabla\times\vec F \right)}_{rotor\,do\,rotor} = \underbrace{\left( \nabla\left(\nabla\bullet\vec F\right) \right)}_{gradiente\,do\,divergente}</math> ==== Laplaciano ==== Linha 127: Cada componente do '''laplaciano vectorial''' representa o laplaciano do componente respectivo do campo vectorial argumento. :<math>\nabla^2 \vec F = \sum^i~~{ \left(~~ \nabla^2 \vec F_i ~~\right)~~ \cdot \hat e_i} = \sum^i{ij} ~~\left( \sum^j{ \nabla~~D^2_j \vec F_i ~~} \right)~~ \cdot \hat e_i} = \sum^i~~{\hat e_i \cdot~~ \mbox{Sp}\mathbf{H}_^{\vec F_i}_{\vec x} \cdot \hat e_i</math> Onde: :<math>~~\nabla~~D^2_j \vec F_i = ~~\nabla\!_j~~D_j \~~nabla\!_j~~left( D_j \vec F_i \right) = \frac{\partial^2 \vec F_i}{\partial \vec x^2_j}</math> Portanto o laplaciano vectorial de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é:

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