Corpo de frações: diferenças entre revisões
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Seja <math>(A,+,*)</math> um [[anel (álgebra)|anel]]. Sob que condições podemos construir uma [[extensão algébrica|extensão]] <math>(B,+,*)</math> que seja um [[corpo (matemática)|corpo]]? Se a resposta for afirmativa, ''B'' será chamado de o '''corpo de frações''' de ''A''.
== Construção ==
Como <math>(B,+,*)</math> é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em <math>(A,+,*)</math>, a multiplicação também deve ser comutativa.
Como ''B'' não pode ter divisores de zero, segue que ''A'' também não pode ter divisores de zero.
Para que ''A'' seja um subconjunto de ''B'', deve ser possível representar cada elemento de A como uma divisão de elementos de ''A''. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em ''A'' tenha elemento neutro 1.
As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.
Como os elementos de ''B'' tem a forma <math>\frac {a_1} {a_2}\,</math> para <math>a_1 \in A \land a_2 \in A \land a_2 \neq 0\,</math>, vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados <math>A \times A^{\star} = A \times (A - \{ 0 \})\,</math>.
Define-se, em <math>A \times A^{\star}</math>:
Linha 25:
Prova-se que <math>\sim\,</math> é uma relação de equivalência em <math>A \times A^{\star}\,</math>. Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em <math>A \times A^{\star}\,</math> estão bem definidas no conjunto quociente <math>\frac {A \times A^{\star}} {\sim}\,</math>.
A projeção <math>\pi: A \mapsto \frac {A \times A^{\star}} {\sim}\,</math> definida por <math>\pi(x) = [ (x, 1) ]\,</math> é um isomorfismo entre ''A'' e <math>\pi(A)\,</math>.
Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.
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