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Em ZFC sem o axioma da regularidade, a possibilidade de infundados conjuntos surgem. Estes conjuntos, se existem, são também chamados hiperconjuntos. Claramente, se A ∈ A, então A é um hiperconjunto.
Em 1988, Peter Aczel publicou um trabalho influente, Non-Well-Founded Sets (Não-Bem-Fundados-Conjuntos). A teoria dos hiperconjuntos tem sido aplicada à ciência computaciona(processamento algébrico e semântica limite), linguística (teoria da situação), e filosofia (trabalho sobre o paradoxo de Liar).
Três distinctos anti-fundamentos axiomáticos são bem conhecidos:
AFA ("Axioma do Anti-Fundamento") — atribuído a M. Forti e F. Honsell;
FAFA ("AFA de Finsler") — atribuído a P. Finsler;
SAFA ("AFA de Scott") — atribuído a Dana Scott.
O primeiro destes, i.e. AFA, é baseado em gráficos de pontos acessíveis(apg) e afirma que dois conjuntos são iguais se e apenas se podem ser representados(figurados) pelo mesmo apg. Dentro deste dominio (framework), pode ser demonstrado que o chamado atomo de Quine, formalmente definido por Q={Q}, existe e é único.
Vale a pena enfatizar que a teoria dos hiperconjuntos é uma extensão da teoria clássica mais do que uma inovação: Os bem-fundandos conjuntos dentro de um domínio no qual os hiperconjuntos também existem conformam-se à teoria clássica dos conjuntos.
Retirado de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Hiperconjunto"
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