Álgebra de Lie: diferenças entre revisões

Uma álgebra de Lie <math>\mathfrak{g}</math> é um tipo de [[álgebra sobre um [[corpo (matemática)|corpo]]; é um [[espaço vetorial]] sobre um corpo ''F'' juntamente com uma [[operação binária]] (<math>[·\cdot,&nbsp;·\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}</math>, chamada de ''comutador'', ou ''colchete de Lie''), que satisfaz os seguintes [[axioma]]s:

:para todos escalares[[escalar]]es ''a'', ''b'' em ''F'' e todos elementos ''x'', ''y'', ''z'' in <math>\mathfrak{g}.</math>

: para todo ''x'' em <math>\mathfrak{g}.</math>

* A [[identidade de Jacobi]]:

Para qualquer [[álgebra associativa]] ''A'' com multiplicação *, pode-se construir uma álgebra de Lie ''L''(''A''). Como [[espaço vetorial]], ''L''(''A'') coincide com ''A''. O colchete de Lie de ''L''(''A'') é definido como sendo o seu comutador em ''A'':

A [[associatividade]] da [[multiplicação]] * em ''A'' implica a identidade de Jacobi para o comutador em ''L'' (''A''). Em particular, a álgebra associativa das matrizes[[matriz (matemática)|matriz]]es ''n'''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' sobre um corpo ''F'' dá origem ao [[grupo linear geral]] <math>\mathfrak{gl}_n(F).</math> A álgebra associativa ''A'' é chamada de uma ''álgebra envolvente'' da álgebra de Lie ''L'' (''A'').

* Qualquer [[espaço vetorial]] ''V'' dotado de um colchete de Lie identicamente nulo é uma álgebra de Lie. Tais álgebras de Lie são chamadas de ''abelianas''. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um corpo é abeliana, pela anti-[[simetria]] do colchete de Lie.

* O [[espaço euclidiano]] [[tridimensional]] '''R'''³ munido do colchete de Lie dado pelo [[produto vetorial]] de [[espaços vetorial|espaços vetoriais]] é uma álgebra de Lie tridimensional.

* A [[álgebra de Heisenberg]] é uma álgebra de Lie tridimensional com geradores[[gerador]]es ''x'',''y'',''z'', cujas relações de comutação são da forma

A definição geral é técnica, mas no caso dos grupos clássicos de matrizes reais, ela pode ser formulada via a aplicação exponencial. A álgebra de Lie <math>\mathfrak{g}</math> consiste das matrizes ''X'' da forma ::<math>\exp(tX)\in G\,</math> : para todos ''t'''s reais. A álgebra de Lie de <math>\mathfrak{g}</math> é dada pelo comutador de tais matrizes. Como um exemplo concreto, considere o [[grupo linear especial]] SL(''n'','''R'''), consistindo das matrizes ''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' com entradas reais e [[determinante]] 1. Este um grupo clássico, e a sua álgebra de Lie tem como elementos todas as matrizes ''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n'' reais e com traço[[Traço (álgebra linear)|Traço]] zero.

A correspondência entre álgebras de Lie e grupos de Lie é utilizada de diversas maneiras, incluindo-se na elaboração da lista dos grupos de Lie simples e na teoria da representação dos grupos de Lie. Toda representação de uma álgebra de Lie é levantada de forma única para um representação do grupo de Lie conexo e simplesmente conexo correspondente. De forma recíproca, toda representação de um grupo de Lie induz uma representação da sua álgebra de Lie; suas representações estão [[Função bijectiva|biunivocamente correspondidas]].