Parte inteira: diferenças entre revisões

 

Em [[matemática]], as funções ditas de parte inteira ('''chão''' e '''tecto''', no Brasil '''teto''') convertem números reais em inteiros desprezando a parte decimal.<ref>[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]] e [[Oren Patashnik]]. "''Concrete Mathematics''". Addison-Wesley, 1999. Cap. 3, "Integer Functions".</ref>

 

== Propriedades da função chão ==

* Tem-se

:com igualdade à esquerda se e só se ''x'' for inteiro.

* a função chão é [[Idempotência|idempotente]]: <math>\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor</math>.

* Para qualquer inteiro ''k'' e real ''x'',

:<math> \lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.</math>

* A função chão não é [[função contínua|contínua]], mas [[semi-continuidade|semi-contínua]]. É linear por troços e a sua [[derivada]] é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.

* Se ''x'' for um real e ''n'' um inteiro, então ''n'' ≤ ''x'' [[se e só se]] ''n'' ≤ chão(''x''). A função chão é parte de uma [[correspondência de Galois]]; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.

:<math>\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.</math>

:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2</math>

* O [[Teorema de Beatty]] mostra que qualquer [[número irracional]] positivo permite particionar os [[número natural|números naturais]] em duas sequências pela função chão.

:<math>\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor</math>

* e:

* Para qualquer inteiro ''k'', verifica-se:

: <math>\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k</math>.

{{ref-section|Notas}}

 

[[Categoria:Funções matemáticas]]