Geometria afim: diferenças entre revisões

A geometria afim pode ser explicada como uma geometria dos [[vetor]]es, mas não envolve quaisquer noções de coordenada, comprimento ou ângulo. Um espaço afim é diferenciado de um [[Vetor|espaço vetor]] de mesma dimensão por ele se esqueçeresquecer da origem ''0''. Esse pensamento é observado em alguns textos antigos de matemática que falava sobre a origem de ''vetores livres''.

De acordo com o ''programa de Erlanger'', podemos dizer que a geometria afim é um grupo fundamental das transformaçoestransformações simétricas.

CosequentementeConsequentemente indentificamosidentificamos '''teoremas afins''' em qualquer resultado geométrico que pode ser determinado em termos de variante em um grupo afim. Um exemplo é a geometria plana dos triângulos, que menciona a interação das linhas, e o seu encontro no vértice até o ponto mediano do lado oposto (no [[incentro]] e no [[baricentro]]). O conceito de ''ponto central é uma variante da variante afim; mas há outros exemplos clássicos (teoremas de [[Teorema de ceva|Ceva]] e [[Teorema de menelau|Menelau]]).

Esses teoremas são notáveis por possuírem provas por métodos vetoriais. Nota-se que a lógica ruma a uma única direção: se um teorema é um teorema afim não hahá motivos de comprová-lo que ele é afim por meio de vetores. E isso não se move de outro modo, e essa é uma maneira de provar. Isso é desejável para um ponto de vista geométrico, mais prático que arranjar provas por meio da [[Geometria analítica]]. Mas isso é uma questão para estudos axiomáticos. (denominado de [[sintético]] pelo ponto de vista.

Invariantes afins podem estar contida em cálculos. Por exemplo, as linhas que dividem um espaço de um triângulo em duas metades iguais a partir de um invólucro dentro do triângulo. A proporção da área do invólucro para a área do triângulo é uma variante afim, e isso apenas precisa ser calculado de um simples caso como uma unidade isócelesisósceles no ângulo direito do triângulo, que resulta <math>{3 \over 4} \log_e(2)-{1 \over 2}</math>, i.e. 0.019860... ou menor quedoisque dois por cento para todos os triângulos.

Observe que a combinação dos vetores ''V - W'', não se tornará diferente de outro resultado, (sendo ''V'' movente contínuo em apenas uma direção, e ''W'' realiza a mesma função em outro sentido contrário). com cálculos computacionais, isso apenas se restringe à resultados lineares da combinação de vetores, com a adição de coeficientes iguais a zero: eles possúempossuem a mesma propriedade, e precisamente as somas podem ser expressas por simples combinações das somas ''V - W'. Isso nos mostra que há uma maneira de explicar os conceitos de ''espaço afim'': ele é um espaço vetor com as operações de multiplicação e subtração escalares. É uma maneira precisa para "se esqueçeresquecer das origens".

A ampliação de outros conceitos geométricos, gera uma complexidade geralmente definida como [[planos afins]]. Essa é um conceito partido de uma bidimensional geometria afinafim, tqueque tem relações com pontos e linhas (e em algumas vezes nos hiperplanos ou altas dimensões. Definido-se as geometrias afins (e a geometria projectiva) em um único sentido, elas chegam a interagir com pontos e linhas ou (hiperplanos) ao invés de coordenadas, tomando por exemplo os campos coordenados. Um teorema ampliado que contêm esses exemplos posuipossui duas dimensões. exemplosExemplos finitos em duas dimensões (planos afins finitos-infinitos) são fundamentais para o estidoestudo das configurações em finitos e infinitos espaços afins, na [[teoria dos conjuntos]] e na [[análise combinatória]].