Integração por substituição trigonométrica: diferenças entre revisões
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A substituição trigonométrica é uma técnica de [[Métodos de Integração|integração]] muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um [[
== Substituição Trigonométrica ==
Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições. Consiste no uso da formula fundamental da trigonometria
<math>Sen^2 \theta\ + Cos^2 \theta\ = 1</math>
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É fácil de perceber, que as funções <math> Sen^2 \theta\ </math> e <math> Cos^2 \theta\ </math> podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:
: <math> Cos^2 \theta\ = 1- Sen^2 \theta\ </math>
: <math>Sen^2 \theta\ = 1-Cos^2 \theta\ </math>
Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante. Divide-se ambos os lados da equação por <math>Cos^2 \theta </math>
: <math>Sen^2 \theta\ + Cos^2 \theta\ = 1</math>
: <math>\frac{Sen^2 \theta}{Cos^2 \theta} + \frac{Cos^2 \theta}{Cos^2 \theta} =\frac{1}{Cos^2 \theta}</math>▼
▲:<math>\frac{Sen^2 \theta}{Cos^2 \theta} + \frac{Cos^2 \theta}{Cos^2 \theta} =\frac{1}{Cos^2 \theta}</math>
Resultando em:
: <math>Tan^2 \theta\ = Sec^2 \theta\ - 1 </math>
Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:
: <math>1-sen^2 \theta\ = cos^2 \theta</math> para <math>\sqrt{a^2-x^2}</math>
: <math>1+\tan^2\theta\;=\;\sec^2\theta</math> para <math>\sqrt{a^2+x^2}</math>
:<math>\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta</math> para <math>\sqrt{x^2-a^2}</math>▼
▲: <math>\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta</math> para <math>\sqrt{x^2-a^2}</math>
== Substituição inversa ==
Deve ser ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.
: <math> u = \phi\ (x) </math>
: <math> x=\phi\ ^ {-1}(u) </math> ''',''' <math> dx=[\phi\ ^ {-1}]'(u) du </math>
:<math> \int f(x)dx =\int f(u)[\phi\ ^ {-1}]'(u) du </math>▼
▲: <math> \int f(x)dx =\int f(u)[\phi\ ^ {-1}]'(u) du </math>
== Exemplo ==
Considere a integral <math>\int \sqrt{16-x^2}dx</math> usando a substituição <math>x=4 Sen \theta\ </math>, obtem-se <math>dx=4 Cos \theta\ d \theta\ </math>
: <math>\int \sqrt{16(1-Sen^2 \theta)} 4\ Cos \theta\ d\theta</math>
: <math>16 \int \ Cos^2 \theta\ d\theta</math>
A integral de [[
: <math>u= Cos \theta , dv=Cos\theta\ </math>
: <math>\int Cos^2 \theta\ d\theta = Cos \theta\ Sen\theta + \int Sen^2 \theta\ d\theta</math>
: <math>\int Cos^2 \theta\ d\theta = Cos \theta\ Sen\theta + \int 1\ d\theta - \int Cos^2 \theta\ d\theta </math>
: <math>\int Cos^2 \theta\ d\theta= \frac{Cos \theta\ Sen\theta}{2} + \frac{\theta}{2}</math>
Voltando a equação original
: <math> 16 \int Cos^2 \theta\ d\theta= 16 (\frac{Cos \theta\ Sen\theta}{2} + \frac{\theta}{2})</math>
Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo <math>\theta</math> para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a <math>\theta</math> igual a <math>x</math>, conseqüentemente o cateto adjacente ao ângulo <math>\theta</math> valerá <math>\sqrt{16-x^2}</math>. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função [[
: <math> Cos\theta =\frac {\sqrt{16-x^2}}{4}</math>
: <math> Sen \theta = \frac {x}{4} </math>
O ângulo <math>\theta</math> pode ser expresso como<math>ArcSen \frac{x}{4}</math>
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