Transformada de Legendre: diferenças entre revisões
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As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, no formalismo da [[energia]], a equação fundamental para a energia interna U em um [[gás ideal]] será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (ou de moles, N), e de uma [[grandeza física]] conhecida por [[entropia]] (S): <math> U = U_{(S, V, N)} </math>. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo no caso de sistemas gasosos ideais a [[Gás ideal#Equação de Clapeyron|equação de Clapeyron]] <math> PV=NRT </math> e a equação da energia <math> U = \frac{n}{2} K_bT </math> (com n=3 para gás monoatômico, 5 para diatômico, etc.), pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.
Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron <math> P_{(V,T, N)}</math> e a da energia <math> U = U_{(T)} </math>, em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, toda a informação físicas necessárias à determinação unívoca do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N moles de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com <math> k_B </math> representando a [[constante de Boltzman]] e c um valor constante
<math> S = N (\frac {N}{
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== A transformada de Legendre ==
[[Ficheiro:Derivada.svg|thumb|300px|O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação <math> f'_{(x)} = P_{(x)} = \frac {\part f_{(x)}}{\part x} </math> no ponto x.]]
Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação [[geometria|geométrica]] da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função <math> Y_{(X)} </math> dependente de apenas uma variável independente, X.
Sendo <math> P = \frac {\part {Y_{(X)}}}{\part x} = \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} </math> no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função <math> Y_{(P)} </math> onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em <math> Y_{(X)} </math> mediante a relação estabelecida entre P e X por <math> P = \frac { d{Y_{(X)}}}{dx} </math>. Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido <math> Y_{(P)} </math>, não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial <math> Y_{(X)} </math>. Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial <math> Y_{(X)} </math> é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial <math> Y_{(X)} </math> partindo-se de <math> Y_{(P)} </math>, a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.
A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação que qualquer equação <math> Y_{(P)} </math> que nos permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer apenas a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação <math> Y_{(X)} </math> da própria curva.
Para tal, considere a reta tangente à curva <math> Y_{(X)} </math> no ponto expecífico (X,Y) cuja inclinação é P. Podemos identificar o ponto <math> \psi </math> onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que:
<math> P = \frac {Y - \psi}{X-0} </math>
donde tem-se
<math> \psi = Y - PX </math>
Considerando agora o fato que se conhece as expressões <math> Y_{(X)} </math> e <math> P = P_{(X)} </math>, a eliminação de X e Y em favor de P e <math> \psi </math> na equação acima nos fornece a procurada relação <math> \psi = \psi_{(P)} </math>, relação esta que nos permite reconstruir cada reta tangente com precisão, pois dado o valor da inclinação P da reta, sabe-se com clareza, então, o ponto <math> \psi </math> onde esta reta deve interceptar o eixo Y.
Para recuperar-se a equação original <math> Y_{(X)} </math> partindo-se da equação <math> \psi_{(P)} </math>, basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto pelo sinal de menos na equação de transformação, à sua inversa. Assim, aparte o sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).
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