Transformada de Legendre: diferenças entre revisões

 

A lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a [[energia cinética]] T e a [[energia potencial]] U do sistema, o que para este presente caso resulta:

 

<math> L_{(x,\dot{x})} = T - U = \frac {1}{2}m \dot{x}^2-\frac {1}{2}kx^2 </math>

 

Nesta equação, <math> \dot{x} </math> representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.

 

<math>\frac {d}{dt} (\frac {\part L}{\part \dot{x}}) = m\ddot{x}</math>

 

O que, substituído na equação para o princípio de lagrange, fornece:

 

<math> m \ddot {x}+kx = 0 </math>, que é a equação diferencial para o sistema em estudo.

 

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento do oscilador harmônico (para a solução, consulte o [[oscilador harmônico|artigo dedicado]]).

 

<math> X(t) = A cos (kx-\omega t + \phi) </math>

 

Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade <math> \dot{x} </math> é:

 

<math> P = \frac {\part L_{(x, \dot{x})}}{\part \dot{x}} = m \dot{x} </math>

 

de onde, isolando-se <math> \dot{x} </math>

 

<math> \dot{x} = \frac {P}{m} </math>

 

Determinando-se a hamiltoniana H através de

 

<math>(-H) = L - P \dot{x} </math> tem-se, já eliminando-se <math> \dot{x} </math> em favor de P:

 

<math> (-H) = \frac {1}{2}m (\frac{P}{m})^2-\frac {1}{2}kx^2 - P (\frac {P}{m}) </math>

 

Resolvendo, chega-se à Hamiltoniana do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:

<math> H_{(P,x)} = \frac {P^2}{2m} + \frac {1}{2}kx^2 </math>

 

 

As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (q=x):

<math> - \dot{P} = \frac {\part H}{\part x} = kx </math>

 

 

<math> P = m \dot{x} </math> donde

 

<math> \dot {P} = m \ddot {x} </math> para um sistema com massa constante.

 

Substituindo na segunda:

 

<math> -\dot{P} = kx = - m \ddot {x}</math>

 

e por fim

 

<math> kx + m \ddot {x} = 0 </math>