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Linha 1: Intuitivamente, um conjunto é '''finito''' quando é possível contar seus elementos, e esta contagem termina. Em [[teoria dos conjuntos]], um [[conjunto]] ''X'' diz-se '''finito''' se existir uma [[bijecção]] entre ''X'' e o conjunto {1,...,n}. Ao número ''n'' chama-se o [[cardinal]] de ''X''.▼ Existem várias formas de transformar esta noção intuitiva em matemática rigorosa - mas para isto é preciso conhecer os conceitos de [[funções bijetivas]]. ▲EmPela definição mais usual, em [[teoria dos conjuntos]], um [[conjunto]] ''X'' diz-se '''finito''' se ele for vazio ou existir uma [[bijecção]] entre ''X'' e o conjunto {1,...,n} <ref name="ohio.edu" />. Ao número ''n'' chama-se o [[cardinal]] de ''X'', e conjuntos que possuem uma função bijetiva entre eles são chamados de conjuntos de mesma [[cardinalidade]]. Esta definição tem o problema de utilizar o conceito de [[número natural]]. Uma definição alternativa, devido a [[Richard Dedekind]], é que um conjunto ''X'' é finito se não existe um subconjunto próprio <math>Y \subset X\,</math> e uma função bijetiva <math>f: X \to Y\,</math><ref name="ohio.edu">[http://www.ling.ohio-state.edu/~plummer/courses/autumn08/ling680/reading/induction.pdf CHAPTER FOUR: THE NATURAL NUMBERS, INDUCTION, AND RECURSIVE DEFINITION], no ''site'' www.ling.ohio-state.edu</ref>. Um conjunto que é finito segundo esta definição é chamado de ''Dedekind-finito'' (e um conjunto que tem um subconjunto próprio de mesma cardinalidade é chamado de ''Dedekind-infinito''). ==Caracterizações dos conjuntos finitos== * Pode-se mostrar que todo número natural é ''Dedekind-finito''. Com isto, prova-se que todo conjunto finito é ''Dedekind-finito''. * Aceitando-se o [[axioma da escolha]], um conjunto é finito se e só se não existir uma bijecção entre si e um seu [[subconjunto próprio]]. * A recíproca, porém, é mais complicada. Para demonstrar que todo conjunto ''Dedekind-finito'' é finito, é preciso utilizar o [[axioma da escolha]]<ref name="ohio.edu" />. =={{Ver também}}== *[[Conjunto infinito]] {{ref-section}} {{esboço-matemática}}

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