Forma canônica de Jordan: diferenças entre revisões
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A '''forma canônica de Jordan''' é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz [[matriz semelhante|semelhante]] à original que é ''quase'' uma [[matriz diagonal]].
O nome é uma referência a [[Camille Jordan]].
== Definições ==
Sejam
<center><math>p_T(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{m_n}((\lambda-\alpha_1)^2+\beta_1^2))^{p_1}\cdots((\lambda-\alpha_k)^2+\beta_k^2))^{p_k}</math></center>▼
o polinômio característico de <math>T</math>, onde <math>\alpha_r+i\beta_r</math> é uma raiz complexa de <math>T</math> com <math>\lambda_r\neq\lambda_s</math> e <math>(\alpha_r,\beta_r)\neq(\alpha_s,\beta_s)</math> se <math>r\neq s</math>.▼
=== Caso complexo ===
Se <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> é um autovalor de <math>T</math>, denota-se <math>J(\lambda,r)</math> a matriz quadrada de ordem <math>r</math> dada por▼
Se <math>K = \mathbb{C}</math>, escrevamos o polinômio característico de ''T'' na forma
<center><math>J(\lambda;r)=\begin{bmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\cdots&0\\ 0&0&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda\end{bmatrix}_{r\times r}.</math></center>▼
<center><math>p_T(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{m_n}</math>,</center>
com <math>\lambda_r\neq\lambda_s</math> se <math>r\neq s</math>.
▲
▲<center><math>J(\lambda;r)=\begin{bmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\cdots&0\\ 0&0&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\lambda\end{bmatrix}_{r\times r}
que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:
<center><math>J(\lambda;r)=\lambda\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\end{bmatrix}_{r\times r}+\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ 0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}_{r\times r}=\lambda I+N,</math></center>
onde
Se <math>B_1,\ldots,B_k</math> são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se <math>\
Se <math>\alpha+i\beta</math> é uma raiz complexa de <math>p_T(\lambda)</math>, define-se, analogamente:▼
<center><math>
onde▼
<center><math>A=\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ -\beta&\alpha\end{bmatrix}\ \text{e}\ \bar{1}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}</math></center>▼
=== Caso real ===
▲Se <math>B_1,\ldots,B_k</math> são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se <math>\text{diag}\ (B_1,\ldots,B_k)</math> como sendo a matriz quadrada de ordem iguai à soma das ordens de <math>B_1,\ldots,B_k</math> dada por
Se <math>K = \mathbb{R}</math>, escrevamos o polinômio característico de ''T'' na forma
<center><math>\begin{bmatrix}B_1&0&\cdots&0\\ 0&B_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&B_k\end{bmatrix}</math></center>▼
▲<center><math>p_T(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{m_n}((\lambda-\alpha_1)^2+\beta_1^2))^{p_1}\cdots((\lambda-\alpha_k)^2+\beta_k^2))^{p_k}</math>,</center>
▲
▲Se <math>\alpha+i\beta</math> é uma raiz complexa de <math>p_T(\lambda)</math>, define-se, analogamente
▲<center><math>R(\alpha,\beta;r)=\begin{bmatrix}
▲onde
▲<center><math>A=\begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ -\beta&\alpha\end{bmatrix}
== Teorema (de Jordan) ==
<center><math>p_T(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{m_n}
<center><math>J=\
onde <math>J_1,\ldots,J_p</math> são da forma <math>J(\lambda;r),\,r\in\mathbb{N}</math> e <math>\lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}</math>.
Se <math>K = \mathbb{R}</math> e
<center><math style="vertical-align:baseline;">p_T(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{m_n}((\lambda-\alpha_1)^2+\beta_1^2)^{p_1}\cdots((\lambda-\alpha_k)^2+\beta_k^2)^{p_k}</math>,</center>
onde <math>\alpha_r+i\beta_r</math> é uma raiz complexa de ''p<sub>T</sub>'' com <math>\lambda_r\neq\lambda_s</math> e <math>(\alpha_r,\beta_r)\neq(\alpha_s,\beta_s)</math> se <math>r\neq s</math> (<math>\beta_r>0</math>), então existe uma base com relação à qual a matriz de ''T'' é da forma
<center><math>J=\operatorname{diag}\ (J_1,\ldots,J_n,R_1,\ldots,R_k),</math></center>
onde <math>J_1,\ldots,J_p</math> são da forma <math>J(\lambda;r),\,r\in\mathbb{N}</math> e <math>\lambda\in\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}</math> e <math>R_1,\ldots,R_q</math> são da forma <math>R(\alpha,\beta;n),\,n\in\mathbb{N}</math> e <math>(\alpha,\beta)\in\{(\alpha_1,\beta_1),\ldots,(\alpha_k,\beta_k)\}</math>.
== Corolário ==
[[Categoria:Álgebra linear]]
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