Seja uma [[variável aleatória]] <math>X: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R} </math> e uma [[sigma-álgebra]] <math>{\color{BlueMagenta}\tau} </math> no [[espaço amostral]] <math>{\color{Red}\Omega} </math>. A '''esperança condicional''' de X, dado <math>{\color{BlueMagenta}\tau} </math>, é a [[variável aleatória]] <math>Z: {\color{Red}\Omega} \rightarrow \mathbb{R} </math> tal que
:<math>Z=E \left [ X | {\color{BlueMagenta}\tau} \right ] </math><ref>SILVA, Marcos Eugênio da. '''Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais'''. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf></ref> <math> = \sum_{i=1}^{n} x_i P \left [ X = x_i | {\color{BlueMagenta}\tau} \right ]</math> <ref>Esperança Condicional. Disponível em: <http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/mle/DocMAII/DocMAII0102/espcondicional.pdf>. Acesso em: 05 de abril de 2011. </ref>.
Esta variável Z tem as seguintes propriedades:
*Z não contém mais informação que a contida em <math>{\color{Magenta}\tau}: \sigma \left ( Z \right ) : \sigma \sub {\color{BlueMagenta}\tau} </math>. Ou seja, a [[variável aleatória]] (que é sempre uma [[função]]) <math> \varpi \rightarrow Z \left ( \varpi \right ) </math> é mensurável com relação a ℑ<math>{\color{Magenta}\tau} </math> (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a ℑ<math>{\color{Magenta}\tau} </math>) <ref>SILVA, Marcos Eugênio da. '''Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais'''. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf></ref>
*Z satisfaz a relação <math>E(X( \varpi ).I_A) </math> <math>= E \left [ Z \left ( \varpi \right ).I_A \right ] \forall A \in {\color{BlueMagenta}\tau}</math>, onde <math>I_A</math> é uma [[função indicadora|variável indicadora]], que vale 1 se <math>\varpi \in A </math> e 0 se <math>\varpi \not\in A </math>.
