Idempotência: diferenças entre revisões
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# As matrizes idempotentes são sempre simétricas, e, portanto, quadradas.
# Matrizes idempotentes são sempre [[matriz positiva definida|positivas semi-definidas]]<ref>WOOLDRIDGE. '''Introdução à Econometria'''. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf></ref>. Acesso em 24 de junho de 2011. Página 104.</ref>.
# Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre
:<math>I=AA^{-1}=A^2A^{-1}=A \left (AA^{-1} \right )=A</math>
#Se uma matriz A é idempotente, a matriz <math>I-A</math> também é.<ref>CHEN, Mei Yuan. '''Matrix Algebra for econometrics'''. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.</ref>.
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É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas<ref>WOOLDRIDGE. '''Introdução à Econometria'''. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf></ref>. Seja <math>X</math> uma matriz de dimensão nXk com posto (X)=k.
*Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a [[matriz]] X de dimensão nXk em duas matrizes <math>X_1</math> e <math>X_1</math> de tal forma que <math>X=\begin{bmatrix} X_1 & X_2 \end{bmatrix}</math>, então
:<math>PX_1=X_1</math><ref>HANSEN, Bruce. '''Econometrics'''. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Página 77.</ref>:
Por exemplo, sejam as matrizes <math>X=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, X_1=\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}, X_2=\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}</math>. Então,
:<math>PX_1=\begin{matrix} \underbrace{ X \left (X^TX \right )^{-1}X^T } \\ P \end{matrix}*\begin{bmatrix}a \\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \left (\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\right )^{-1}\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}</math>
*P é sempre [[matriz positiva definida|positiva semi-definida]].
*Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.
===Matriz de aniquilação===
*'''Matriz de aniquilação''': <math>M \equiv I_n-P \equiv I_n - X \left (X^TX \right )^{-1}X^T</math>. Esta matriz é chamada de [[matriz]] de aniquilação porque sempre é verdade que <math>MX=0</math><ref>HAYASHI, Fumio. '''Econometrics'''. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.</ref>.
▲Estas duas matrizes são largamente utilizadas em [[econometria]]. Na estimação por [[mínimos quadrados ordinários]], por exemplo, a matriz '''P''' gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (''hat matrix'', em inglês)<ref>HANSEN, Bruce. '''Econometrics'''. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Página 77.</ref>:
▲:<math>Py =\left (X^TX \right )^{-1}X^Ty = X\hat \beta=\hat y</math>
A matriz aniquiladora também é bastante útil em [[econometria]]. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de [[mínimos quadrados ordinários]]
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