Grupo abeliano: diferenças entre revisões
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Referenciando com base em texto de 1999 em site de universidade |
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{{mais-notas|data=Junho de 2011}}
Em matemática, um '''grupo abeliano''', chamado também de '''grupo comutativo''', é um grupo (G,*) tais que a*b = b*a para todo a e b em G.<ref name="beachy">[[John A. Beachy]], ''Introductory Lectures on Rings and Modules'', 0.3 ''Abelian Groups'' [http://www.math.niu.edu/~beachy/rings_modules/notes/03.pdf <small><nowiki>[em linha]</nowiki></small>]</ref> Ou seja, a ordem em que a operação binária é executada não importa. Tais grupos são geralmente mais fáceis de compreender, embora os grupos abelianos infinitos remanesçam um assunto da pesquisa atual. Os grupos que não são comutativos são chamados não-abelianos (melhor que não-comutativo).
Os grupos '''Abelianos''' receberam esse nome devido a [[Niels Henrik Abel|Niels Henrik '''Abel''']].
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A notação multiplicativa é a notação usual para grupos, quando a notação aditiva for à notação usual para os módulos. Ao estudar grupos abelianos à parte de outros grupos, a notação aditiva é usada geralmente. <ref name="beachy" />
Exemplos: Cada grupo cíclico G é abeliano, porque se x, y estiver em G, então ''xy'' = ''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup> = ''a''<sup>''n'' + ''m''</sup> = ''a''<sup>''n''</sup>''a''<sup>''m''</sup> = ''yx''.
Assim os inteiros, Z, dão forma a um grupo abeliano sob a adição, como o modulo n dos inteiros, Z/nZ.
Cada anel é um grupo abeliano respeitando a sua operação da adição. Em um anel comutativo os elementos invertíveis, ou as unidades, dão forma a um grupo multiplicativo abeliano.
De fato, os números reais são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais sem ser o zero são um grupo abeliano sob a multiplicação. Cada subgrupo de um grupo abeliano é normal, assim que cada subgrupo causa um grupo do quociente. Os subgrupos, os quocientes, e as somas diretas de grupos abeliano são outra vez abelianos.
As matrizes, mesmo matrizes invertíveis, não dão forma a um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação da matriz não é geralmente comutativa.
==Tabela Multiplicativa==
Para verificar que um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) – conhecida como uma tabela de Cayley - pode ser construído em uma forma similar a uma tabela da multiplicação. Se o grupo estiver G = {g1 = e, g2,…, gn} sob operação ⋅, (i, j) 'a entrada th desta tabela contem o produto gi ⋅ gj. O grupo é abeliano se e somente se esta tabela é simétrica sobre a diagonal principal (isto é se a matriz for uma matriz simétrica).
Isto é verdadeiro se o grupo for abeliano, então gi ⋅ gj = gj ⋅ gi.. Isto implica que (i, j) 'a entrada do th da tabela iguala (j, i) 'a entrada do th - isto é a tabela é simétrica sobre a diagonal principal.
==Propriedades ==
Se n for um número natural e x for um elemento de um grupo abeliano G escrito aditivamente, então nx pode ser definido como x + x +… + x e (−n) x = − (nx). Nesta maneira, G transforma-se em um módulo sobre o anel Z dos inteiros.<ref name="beachy" /> De fato, os módulos Z excedentes podem ser identificados com os grupos abelianos.
Os Teoremas sobre os grupos abelianos (isto é módulos sobre o domínio ideal principal Z) podem freqüentemente ser generalizados aos teoremas sobre os módulos sobre um domínio ideal principal arbitrário. Um exemplo típico é a classificação de grupos abelianos finita gerados.
Se f, g: O → H de G são dois homomorfismos do grupo entre grupos abelianos, a seguir sua soma f + g, definido por (f + g) (x) = f (x) + g (x), é outra vez um homomorfismo. (Isto não é verdadeiro se H for um grupo não-abeliano). O jogo Hom (G, H) de todos os homomorfismos do grupo de G a H gira assim em um grupo abeliano em sua própria direita.
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'''Z'''<sub>''mn''</sub> isomórfico ao produto direto de '''Z'''<sub>''m''</sub> and '''Z'''<sub>''n''</sub> se e somente se ''m'' e ''n'' são primos.
Conseqüentemente nós podemos escrever qualquer grupo abeliano "G" como um produto direto da formula:
:<math>\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}</math>
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Muitos grupos abelianos grandes carregam uma [[espaço topológico|topologia]] natural, tornado-se [[grupo topológico|grupos topológicos]].
{{referências}}
[[Categoria:Niels Henrik Abel]]
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